Exercice : Optimisation et approximation numérique

Étape 1

Pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[15 ; 35]$, la quantité $(x - 20)^2$ est le carré d'un nombre réel. Or, le carré d'un nombre réel est toujours supérieur ou égal à $0$ : $$(x - 20)^2 \ge 0$$

Étape 2

En multipliant par $-1$, le sens de l'inégalité s'inverse : $$-(x - 20)^2 \le 0$$

Étape 3

En ajoutant $400$ aux deux membres de l'inégalité, on obtient : $$400 - (x - 20)^2 \le 400$$ ce qui s'écrit $B(x) \le 400$ pour tout $x$ de l'intervalle $[15 ; 35]$.

Étape 4

Le bénéfice maximal possible est donc de $400$ €. Ce maximum est atteint lorsque la quantité retranchée est nulle, c'est-à-dire lorsque : $$(x - 20)^2 = 0$$ ce qui équivaut à $x - 20 = 0$, soit $x = 20$.

Étape 5

L'entreprise doit donc fabriquer et vendre $20$ objets par jour pour réaliser son bénéfice maximal.