Exercice : Optimisation et approximation numérique

Étape 1

Déterminons d'abord les bornes $a$ et $b$ de l'intervalle des valeurs physiquement admissibles pour $x$. La longueur du côté découpe $x$ doit être strictement positive ($x > 0$). De plus, la longueur du bord restant $12 - 2x$ doit également être strictement positive, ce qui donne $$12 - 2x > 0 \iff 2x < 12 \iff x < 6$$ L'intervalle des valeurs admissibles est donc $]0; 6[$. Ainsi, $a = 0$ et $b = 6$.

Étape 2

Analysons le fonctionnement du programme. La longueur initiale de l'intervalle d'étude est $$b - a = 6 - 0 = 6$$ À chaque itération de la boucle `while`, la variable `longueur` est divisée par $2$ et le compteur `count` est incrémenté de $1$. Après $n$ itérations, la valeur de la variable `longueur` est égale à $\frac{6}{2^n}$.

Étape 3

Le programme s'arrête dès que la condition `longueur > e` n'est plus vérifiée, c'est-à-dire dès que $$ \frac{6}{2^n} \le e $$ Pour $e = 0{,}005$, l'inégalité devient $$ \frac{6}{2^n} \le 0{,}005 \iff 2^n \ge \frac{6}{0{,}005} $$ Or, $\frac{6}{0{,}005} = \frac{6000}{5} = 1200$. On cherche donc le plus petit entier $n$ tel que $2^n \ge 1200$.

Étape 4

Calculons les puissances successives de $2$ : - $2^8 = 256$ - $2^9 = 512$ - $2^{10} = 1024$ - $2^{11} = 2048$ Comme $1024 < 1200 \le 2048$, le plus petit entier $n$ satisfaisant la condition est $n = 11$. L'appel `nb_iterations(0, 6, 0.005)` renvoie donc $11$.