Exercice : Optimisation et approximation numérique

Étape 1

Étape 1 : Modélisation géométrique de l'aire. Soit $x$ la largeur de chacune des deux parcelles (longueur des trois segments perpendiculaires au mur) et $y$ la longueur parallèle au mur. La longueur totale de grillage est donnée par $3x + y = k$, d'où $y = k - 3x$. L'aire totale $A(x)$ de l'enclos s'exprime par $$A(x) = x \cdot y = x(k - 3x) = kx - 3x^2$$

Étape 2

Étape 2 : Détermination de l'aire maximale. Grâce à l'égalité fournie dans l'énoncé, l'expression de l'aire s'écrit $$A(x) = \frac{k^2}{12} - 3\left(x - \frac{k}{6}\right)^2$$ Pour tout réel $x$, un carré est toujours positif ou nul, c'est-à-dire $$\left(x - \frac{k}{6}\right)^2 \ge 0$$ En multipliant par $-3$, le sens de l'inégalité inverse : $$-3\left(x - \frac{k}{6}\right)^2 \le 0$$ On en déduit que pour tout réel $x$, $$A(x) \le \frac{k^2}{12}$$ Cette valeur maximale est atteinte lorsque $x - \frac{k}{6} = 0$, soit pour $x = \frac{k}{6}$. Ainsi, l'aire maximale de l'enclos est égale à $\frac{k^2}{12}$.

Étape 3

Étape 3 : Calcul du paramètre $k$. On sait que l'aire maximale vaut $300\text{ m}^2$. On résout donc l'équation $${\frac{k^2}{12} = 300}$$ Ce qui équivaut à $k^2 = 300 \times 12 = 3600$. Comme $k$ représente une longueur, $k$ est un nombre strictement positif, donc $$k = \sqrt{3600} = 60$$ La longueur totale de grillage est égale à $60\text{ m}$.