Multiples, diviseurs et fractions irréductibles
L'essentiel du cours (2 notions)
Ensembles $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ et multiples
Définition : $\mathbb{N}$ désigne l'ensemble des entiers naturels ($0, 1, 2...$) et $\mathbb{Z}$ celui des entiers relatifs (positifs, négatifs ou nul).
Propriété : Soient $a, b \in \mathbb{Z}$. L'entier $a$ est un multiple de $b$ s'il existe un entier $k \in \mathbb{Z}$ tel que $a = k \times b$.
Exemple : $-15 = 5 \times (-3)$ avec $-3 \in \mathbb{Z}$, donc $-15$ est un multiple de $5$.
Calculs et fractions irréductibles
Définition : Une fraction $\frac{a}{b}$ ($b \neq 0$) est irréductible si les entiers $a$ et $b$ n'ont aucun diviseur commun autre que $1$ et $-1$.
Méthode : Pour simplifier $\frac{a}{b}$, on écrit $a = k \times a'$ et $b = k \times b'$ avec $k \in \mathbb{Z}^*$, puis on simplifie par $k$.
Exemple : $\frac{84}{36} = \frac{12 \times 7}{12 \times 3} = \frac{7}{3}$, irréductible car $7$ et $3$ n'ont pas d'autre diviseur commun que 1.
On considère la fraction $\frac{420}{735}$.
- Décomposer les entiers $420$ et $735$ en produits de facteurs premiers.
- En déduire la forme irréductible de la fraction $\frac{420}{735}$.
Saisir le dénominateur de cette fraction irréductible.
On considère le nombre $A$ défini par :
$$A = \frac{2^3 \times 3^2 \times 5}{2^2 \times 3^3 \times 7}$$Écrire $A$ sous la forme d'une fraction irréductible $\frac{a}{b}$.
Saisir la fraction irréductible sous la forme a/b.
Un sol rectangulaire de dimensions $252\text{ cm}$ par $308\text{ cm}$ doit être entièrement recouvert, sans découpe, par des dalles carrées identiques dont la longueur du côté est un nombre entier de centimètres.
On cherche à utiliser le moins de dalles possible pour réaliser ce recouvrement.
Saisir le nombre minimal de dalles carrées nécessaires.
On considère l'expression numérique suivante :
$$A = \frac{240}{1260} + \frac{110}{154}$$Déterminer la valeur exacte de $A$.
Saisir la valeur de $A$ sous la forme d'une fraction irréductible $a/b$.
Soit $n$ un entier naturel non nul. On définit l'expression $A(n) = (2n+1)^2 - 1$.
Déterminer l'entier $n$ pour lequel le quotient de $A(n)$ par $8$ est égal au plus grand diviseur de $132$ strictement inférieur à $132$.
Saisir la valeur de $n$.