Étape 1
Pour simplifier la fraction $\frac{420}{735}$, on décompose tout d'abord le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers.
Étape 2
Décomposition de $420$ :
$420$ est pair, donc divisible par $2$ : $420 = 2 \times 210$.
$210$ est pair, donc divisible par $2$ : $210 = 2 \times 105$.
La somme des chiffres de $105$ est $1 + 0 + 5 = 6$, qui est un multiple de $3$, donc $105$ est divisible par $3$ : $105 = 3 \times 35$.
$35$ se termine par $5$, donc est divisible par $5$ : $35 = 5 \times 7$.
$7$ est un nombre premier.
On obtient donc :
$$420 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7$$
Étape 3
Décomposition de $735$ :
La somme des chiffres de $735$ est $7 + 3 + 5 = 15$, qui est un multiple de $3$, donc $735$ est divisible par $3$ : $735 = 3 \times 245$.
$245$ se termine par $5$, donc est divisible par $5$ : $245 = 5 \times 49$.
$49 = 7^2$.
$7$ est un nombre premier.
On obtient donc :
$$735 = 3 \times 5 \times 7^2$$
Étape 4
On réécrit la fraction sous forme décomposée :
$$\frac{420}{735} = \frac{2^2 \times 3 \times 5 \times 7}{3 \times 5 \times 7^2}$$
Étape 5
En simplifiant les facteurs communs au numérateur et au dénominateur ($3$, $5$ et $7$), on obtient :
$$\frac{420}{735} = \frac{2^2}{7} = \frac{4}{7}$$
Étape 6
Les entiers $4$ et $7$ n'ont aucun facteur premier en commun, la fraction $\frac{4}{7}$ est donc irréductible. Son dénominateur est $7$.
Méthode clé
Pour simplifier une fraction jusqu'à sa forme irréductible, on décompose le numérateur et le dénominateur en produit de facteurs premiers, puis on simplifie tous leurs facteurs communs.
Piège à éviter
Oublier de tester les premiers critères de divisibilité (comme la somme des chiffres pour 3) avant de passer aux diviseurs suivants.
