Exercice : Multiples, diviseurs et fractions irréductibles

Étape 1

On commence par réorganiser l'expression en séparant les puissances de même base : $$A = \frac{2^3}{2^2} \times \frac{3^2}{3^3} \times \frac{5}{7}$$

Étape 2

On applique la règle de simplification des quotients de puissances $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$ : $$\frac{2^3}{2^2} = 2^{3-2} = 2^1 = 2$$ $$\frac{3^2}{3^3} = \frac{1}{3^{3-2}} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$$

Étape 3

On remplace ces valeurs dans l'expression de $A$ : $$A = 2 \times \frac{1}{3} \times \frac{5}{7} = \frac{2 \times 1 \times 5}{3 \times 7} = \frac{10}{21}$$

Étape 4

Les décompositions en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur sont $10 = 2 \times 5$ et $21 = 3 \times 7$. Comme ils n'ont aucun facteur premier en commun, la fraction $\frac{10}{21}$ est irréductible.