Étape 1
Pour tout entier naturel non nul $n$, développons puis factorisons l'expression $A(n)$ :
$$A(n) = (4n^2 + 4n + 1) - 1 = 4n^2 + 4n = 4n(n+1)$$
Les entiers $n$ et $n+1$ sont deux entiers consécutifs. L'un d'eux est donc nécessairement pair.
Ainsi, leur produit $n(n+1)$ est un multiple de $2$, ce qui signifie qu'il existe un entier naturel $k$ tel que $n(n+1) = 2k$.
On en déduit :
$$A(n) = 4 \times 2k = 8k$$
Le quotient de $A(n)$ par $8$ s'écrit donc :
$$\frac{A(n)}{8} = \frac{n(n+1)}{2}$$
Étape 2
Décomposons maintenant $132$ en produit de facteurs premiers :
$$132 = 2^2 \times 3 \times 11$$
Le plus petit diviseur premier de $132$ est $2$.
Le plus grand diviseur de $132$ strictement inférieur à $132$ (son plus grand diviseur strict) s'obtient en divisant $132$ par son plus petit diviseur premier :
$$\frac{132}{2} = 66$$
Étape 3
Nous cherchons donc l'entier naturel non nul $n$ vérifiant l'égalité :
$$\frac{n(n+1)}{2} = 66$$
Ce qui équivaut à :
$$n(n+1) = 132$$
Comme $n$ et $n+1$ sont deux entiers naturels consécutifs positifs, cherchons le produit de deux entiers consécutifs égal à $132$.
On remarque que $11 \times 12 = 132$.
On en déduit que $n = 11$.
Étape 4
La valeur de l'entier $n$ est donc $11$.
Méthode clé
Exprimer le quotient en fonction du produit de deux entiers consécutifs, puis identifier le diviseur visé grâce à la décomposition en facteurs premiers.
Piège à éviter
Confondre le plus grand diviseur strict d'un nombre avec le nombre lui-même, ou oublier de justifier que le produit de deux entiers consécutifs est toujours pair.
