Composition et dérivation
L'essentiel du cours (4 notions)
Dérivée d'une fonction composée
Propriété : Si $u$ est dérivable sur $I$ et $v$ sur $u(I)$, alors $v \circ u$ est dérivable sur $I$ et $(v \circ u)' = u' \times (v' \circ u)$.
Exemple : Pour $f(x) = e^{3x+1}$, avec $u(x)=3x+1$, on a $u'(x)=3$ d'où $f'(x) = 3e^{3x+1}$.
Limite d'une fonction composée
Propriété : Si $\lim_{x \to a} u(x) = b$ et $\lim_{X \to b} v(X) = L$, alors $\lim_{x \to a} (v \circ u)(x) = L$ (avec $a, b, L \in \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$).
Méthode : 1. Déterminer la limite $b$ de $u(x)$ en $a$. 2. Déterminer la limite $L$ de $v(X)$ en $b$. 3. Conclure par composition.
Exemple : Comme $\lim_{x \to +\infty} -x^2 = -\infty$ et $\lim_{X \to -\infty} e^X = 0$, alors $\lim_{x \to +\infty} e^{-x^2} = 0$.
Variations d'une fonction composée
Propriété : Si $u$ est monotone sur $I$ et $v$ monotone sur $u(I)$ : de même sens, $v \circ u$ est croissante sur $I$ ; de sens contraires, elle est décroissante.
Méthode : 1. Étudier le signe de $f' = u' \times (v' \circ u)$. 2. Dresser le tableau de variations et compléter avec les limites aux bornes.
Exemple : Pour $f(x)=e^{-x^2}$, $f'(x)=-2xe^{-x^2}$ est du signe de $-2x$ : croissante sur $]-\infty;0]$, décroissante sur $[0;+\infty[$.
Composition de deux fonctions
Définition : La composée de $u$ suivie de $v$, notée $v \circ u$, est la fonction définie par $(v \circ u)(x) = v(u(x))$ pour tout $x \in D_u$ tel que $u(x) \in D_v$.
Exemple : Si $u(x) = x+3$ et $v(X) = X^2$, alors $(v \circ u)(x) = (x+3)^2$, tandis que $(u \circ v)(x) = x^2+3$.
La population d'une culture bactérienne (exprimée en milliers d'individus) au temps $t$ (en heures, pour $t \ge 0$) est modélisée par la fonction $f$ définie par :
$$f(t) = \sqrt{3t^2 + 4}$$Déterminer la vitesse de croissance instantanée de cette population au bout de 2 heures (exprimée en milliers de bactéries par heure).
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = 2x + k$, où $k$ est un nombre réel.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 5x - 3$.
On note $h$ la fonction composée $f \circ g$, définie pour tout réel $x$ par $h(x) = f(g(x))$.
On sait que $h(4) = 52$.
Saisir la valeur du réel $k$.
On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par : $$f(x) = \text{e}^{\frac{a x + 5}{3x + 1}}$$ où $a$ est un paramètre réel strictement positif.
On souhaite déterminer la valeur du réel $a$ sachant que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \text{e}^2$.
- Déterminer en fonction de $a$ la limite $\lim_{x \to +\infty} \frac{a x + 5}{3x + 1}$.
- En déduire $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ en fonction de $a$.
- En utilisant la condition $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \text{e}^2$, déterminer la valeur du réel $a$.
Saisir la valeur du réel $a$.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x) = \mathrm{e}^{x^2 - 6x + 5}$$
Déterminer l'abscisse du point en lequel la fonction $f$ atteint son minimum sur $\mathbb{R}$.
Saisir l'abscisse du minimum de $f$.
Soit $a$ un nombre réel strictement positif.
On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par :
$$f(x) = \exp\left( \frac{a x^2 e^x - 4 e^x}{2 x^2 e^x + 3 x} \right) + \frac{\ln(x)}{x}$$On sait que la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ est égale à $e^4$.
Déterminer la valeur du réel $a$.
Soit $a$ un réel strictement positif. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x) = \mathrm{e}^{-2x^2 + ax - 1}$$
On admet que la fonction $f$ admet un maximum absolu sur $\mathbb{R}$ dont la valeur est égale à $\mathrm{e}$.
Saisir la valeur du paramètre $a$.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ par $f(x) = \dfrac{2x + 5}{x - 1}$ et $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^2 - 2x + k$, où $k$ est un nombre réel.
On sait que $f(g(3)) = 3$.
Déterminer la valeur du paramètre $k$.
Saisir la valeur du paramètre $k$.
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ tel que $2x^2 + k x + 5 > 0$ par :
$$f(x) = \sqrt{2x^2 + k x + 5}$$où $k$ est un nombre réel. On sait que la courbe représentative de la fonction $f$ admet, au point d'abscisse $1$, une tangente de coefficient directeur égal à $1$.
Déterminer la valeur du réel $k$.
Saisir la valeur du réel $k$.
Pour tout entier $k$, on considère la fonction $f_k$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f_k(x) = (x^2 + 2kx + 9) e^{2x}$$On souhaite étudier les variations de la fonction $f_k$ selon les valeurs du paramètre $k$.
Quelle est la plus grande valeur entière de $k$ pour laquelle la fonction $f_k$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ ?
Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On considère la fonction $f$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par :
$$f(x) = \sqrt{16x^2 + a x + 5} - 4x$$Sachant que la limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ est égale à $\frac{3}{4}$, déterminer la valeur du réel $a$.
Saisir la valeur du réel $a$.