Étape 1
Soit $k$ un entier. La fonction $f_k$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit et composée de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.
Étape 2
On pose $u(x) = x^2 + 2kx + 9$ et $v(x) = e^{2x}$. Leurs dérivées sont $u'(x) = 2x + 2k$ et $v'(x) = 2e^{2x}$ par dérivation d'une fonction composée du type $e^{w(x)}$.
Étape 3
Pour tout réel $x$, on applique la formule de la dérivée d'un produit :
Étape 4
$$f_k'(x) = (2x + 2k) e^{2x} + (x^2 + 2kx + 9) \times 2 e^{2x}$$
Étape 5
En factorisant par $2 e^{2x}$, on obtient :
Étape 6
$$f_k'(x) = 2 e^{2x} \left[ x^2 + (2k + 1)x + (k + 9) \right]$$
Étape 7
Pour tout réel $x$, la quantité $2 e^{2x}$ est strictement positive. Le signe de $f_k'(x)$ est donc identique à celui du trinôme du second degré $P_k(x) = x^2 + (2k + 1)x + (k + 9)$.
Étape 8
La fonction $f_k$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ si et seulement si sa dérivée $f_k'(x)$ est positive ou nulle sur $\mathbb{R}$ et ne s'annule qu'en des points isolés.
Étape 9
Le coefficient du terme en $x^2$ du trinôme $P_k(x)$ étant égal à $1$ (strictement positif), le trinôme $P_k(x)$ garde un signe positif ou nul sur $\mathbb{R}$ si et seulement si son discriminant $\Delta(k)$ est négatif ou nul.
Étape 10
Calculons le discriminant de $P_k(x)$ :
Étape 11
$$\Delta(k) = (2k + 1)^2 - 4 \times 1 \times (k + 9) = 4k^2 + 4k + 1 - 4k - 36 = 4k^2 - 35$$
Étape 12
La condition $\Delta(k) \le 0$ équivaut donc à :
Étape 13
$$4k^2 - 35 \le 0$$
Étape 14
Ce qui signifie que $k^2 \le \frac{35}{4}$, soit $k^2 \le 8{,}75$.
Étape 15
Comme $k$ est un entier, les valeurs possibles pour $k$ vérifiant $k^2 \le 8{,}75$ sont les entiers compris entre $-2$ et $2$.
Étape 16
La plus grande valeur entière de $k$ pour laquelle $f_k$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ est donc $2$.
Méthode clé
Étudier le signe de la dérivée d'une fonction dépendant d'un paramètre revient souvent à analyser le discriminant du trinôme du second degré obtenu après factorisation par l'exponentielle.
Piège à éviter
Oublier de multiplier par la dérivée de l'exposant lors de la dérivation de la fonction composée $x \mapsto e^{2x}$.
