Étape 1
Étudions la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
Étape 2
Comme $\lim_{x \to +\infty} (16x^2 + ax + 5) = +\infty$ et $\lim_{X \to +\infty} \sqrt{X} = +\infty$, par composition on a $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{16x^2 + ax + 5} = +\infty$.
Étape 3
De plus, $\lim_{x \to +\infty} (-4x) = -\infty$. Il s'agit donc d'une forme indéterminée du type « $\infty - \infty$ ».
Étape 4
Pour lever cette indétermination, multiplions et divisons par l'expression conjuguée $\sqrt{16x^2 + ax + 5} + 4x$ pour tout $x > 0$ :
Étape 5
$$f(x) = \frac{\left(\sqrt{16x^2 + ax + 5} - 4x\right)\left(\sqrt{16x^2 + ax + 5} + 4x\right)}{\sqrt{16x^2 + ax + 5} + 4x}$$
Étape 6
$$f(x) = \frac{(16x^2 + ax + 5) - (4x)^2}{\sqrt{16x^2 + ax + 5} + 4x} = \frac{ax + 5}{\sqrt{16x^2 + ax + 5} + 4x}$$
Étape 7
Pour $x > 0$, on factorise $x^2$ sous la racine carrée :
Étape 8
$$\sqrt{16x^2 + ax + 5} = \sqrt{x^2 \left(16 + \frac{a}{x} + \frac{5}{x^2}\right)} = \sqrt{x^2} \times \sqrt{16 + \frac{a}{x} + \frac{5}{x^2}} = x \sqrt{16 + \frac{a}{x} + \frac{5}{x^2}}$$
Étape 9
On substitue cette expression dans la fraction :
Étape 10
$$f(x) = \frac{x \left(a + \frac{5}{x}\right)}{x \sqrt{16 + \frac{a}{x} + \frac{5}{x^2}} + 4x} = \frac{x \left(a + \frac{5}{x}\right)}{x \left(\sqrt{16 + \frac{a}{x} + \frac{5}{x^2}} + 4\right)}$$
Étape 11
En simplifiant par $x$ pour $x > 0$, on obtient :
Étape 12
$$f(x) = \frac{a + \frac{5}{x}}{\sqrt{16 + \frac{a}{x} + \frac{5}{x^2}} + 4}$$
Étape 13
Déterminons désormais la limite des différents termes lorsque $x$ tend vers $+\infty$ :
Étape 14
Au numérateur, $\lim_{x \to +\infty} \left(a + \frac{5}{x}\right) = a$.
Étape 15
Sous la racine au dénominateur, $\lim_{x \to +\infty} \left(16 + \frac{a}{x} + \frac{5}{x^2}\right) = 16$.
Étape 16
Par composition avec la fonction racine carrée qui est continue en $16$, on a $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{16 + \frac{a}{x} + \frac{5}{x^2}} = \sqrt{16} = 4$.
Étape 17
Par somme, la limite du dénominateur est $\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{16 + \frac{a}{x} + \frac{5}{x^2}} + 4\right) = 4 + 4 = 8$.
Étape 18
Par quotient des limites, on en déduit que :
Étape 19
$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{a}{8}$$
Étape 20
L'énoncé indique que cette limite est égale à $\frac{3}{4}$. On résout donc l'équation :
Étape 21
$$\frac{a}{8} = \frac{3}{4}$$
Étape 22
Ce qui équivaut à $a = 8 \times \frac{3}{4} = 6$.
Étape 23
La valeur du réel $a$ est donc $6$.
Méthode clé
Pour lever une forme indéterminée du type « $\infty - \infty$ » faisant intervenir une racine carrée, on multiplie et on divise par l'expression conjuguée, puis on factorise le terme prépondérant.
Piège à éviter
Conclure à tort que la limite vaut $0$ en écrivant « $\infty - \infty = 0$ », ou oublier que $\sqrt{x^2} = x$ pour $x > 0$.
