Étape 1
Pour déterminer le paramètre $a$, étudions la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ étape par étape.
Étape 2
On commence par étudier le quotient intérieur $u(x) = \frac{a x^2 e^x - 4 e^x}{2 x^2 e^x + 3 x}$. Pour $x > 0$, il s'agit d'une forme indéterminée du type « $\frac{+\infty}{+\infty}$ ». On factorise le numérateur et le dénominateur par le terme prépondérant $x^2 e^x$ :
Étape 3
$$u(x) = \frac{x^2 e^x \left(a - \frac{4}{x^2}\right)}{x^2 e^x \left(2 + \frac{3}{x e^x}\right)} = \frac{a - \frac{4}{x^2}}{2 + \frac{3}{x e^x}}$$
Étape 4
Déterminons les limites des termes du quotient :
Étape 5
$\lim_{x \to +\infty} \frac{4}{x^2} = 0$, donc le numérateur tend vers $a$.
Étape 6
D'après les croissances comparées, $\lim_{x \to +\infty} x e^x = +\infty$, d'où $\lim_{x \to +\infty} \frac{3}{x e^x} = 0$. Le dénominateur tend donc vers $2$.
Étape 7
Par quotient de limites, on en déduit que :
Étape 8
$$\lim_{x \to +\infty} u(x) = \frac{a}{2}$$
Étape 9
Par composition avec la fonction exponentielle, qui est continue sur $\mathbb{R}$ :
Étape 10
$$\lim_{x \to +\infty} \exp(u(x)) = e^{a/2}$$
Étape 11
D'autre part, d'après le théorème des croissances comparées :
Étape 12
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$$
Étape 13
Par somme de limites, on obtient :
Étape 14
$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = e^{a/2} + 0 = e^{a/2}$$
Étape 15
Or, l'énoncé indique que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = e^4$. On en déduit l'équation :
Étape 16
$$e^{a/2} = e^4$$
Étape 17
Par stricte croissante de la fonction exponentielle, cette égalité équivaut à :
Étape 18
$$\frac{a}{2} = 4$$
Étape 19
D'où $a = 8$.
Méthode clé
Pour lever une forme indéterminée en $+\infty$ dans un quotient comportant des exponentielles, on factorise au numérateur et au dénominateur par le terme de plus fort développement (ici $x^2 e^x$).
Piège à éviter
Confondre la limite du terme sous l'exponentielle avec la limite globale de la fonction $f$, en oubliant la composition par la fonction exponentielle.
