Exercice fonctions, composée, image — Composition et dérivation (Terminale Spécialité)

★ Standard

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = 2x + k$, où $k$ est un nombre réel.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 5x - 3$.

On note $h$ la fonction composée $f \circ g$, définie pour tout réel $x$ par $h(x) = f(g(x))$.

On sait que $h(4) = 52$.

Saisir la valeur du réel $k$.

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Réponse finale

Étape 1

Par définition de la composée de deux fonctions, pour tout réel $x$, on a $h(x) = (f \circ g)(x) = f(g(x))$.

Étape 2

Pour $x = 4$, calculons d'abord l'image de $4$ par la fonction $g$ en fonction de $k$ :

Étape 3

$$g(4) = 2 \times 4 + k = 8 + k$$

Étape 4

En appliquant ensuite la fonction $f$ à ce résultat, on obtient l'expression de $h(4)$ :

Étape 5

$$h(4) = f(g(4)) = f(8 + k) = 5(8 + k) - 3$$

Étape 6

En développant cette expression, on trouve :

Étape 7

$$h(4) = 40 + 5k - 3 = 5k + 37$$

Étape 8

D'après les données de l'énoncé, $h(4) = 52$. On obtient donc l'équation d'inconnue $k$ :

Étape 9

$$5k + 37 = 52$$

Étape 10

Ce qui équivaut à $5k = 52 - 37$, c'est-à-dire $5k = 15$.

Étape 11

On en déduit que $k = \dfrac{15}{5} = 3$.

Méthode clé

Pour calculer $(f \circ g)(x)$, on évalue d'abord la fonction intérieure $g(x)$, puis on applique la fonction extérieure $f$ au résultat obtenu.

Piège à éviter

Ne pas confondre $f(g(x))$ et $g(f(x))$, et veiller à bien distribuer les facteurs lors de l'application de $f$.

Exercice : Composition et dérivation