Étape 1
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $1$ est donné par le nombre dérivé $f'(1)$. L'énoncé indique donc que $f'(1) = 1$.
Étape 2
La fonction $f$ est de la forme $\sqrt{u}$ avec $u(x) = 2x^2 + k x + 5$. La fonction $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est $u'(x) = 4x + k$.
Étape 3
D'après la formule de dérivation d'une fonction composée, pour tout $x$ tel que $u(x) > 0$ :$$f'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} = \frac{4x + k}{2\sqrt{2x^2 + k x + 5}}$$
Étape 4
En évaluant cette dérivée en $x = 1$, on obtient :$$f'(1) = \frac{4(1) + k}{2\sqrt{2(1)^2 + k(1) + 5}} = \frac{4 + k}{2\sqrt{7 + k}}$$
Étape 5
On cherche la valeur de $k$ telle que $f'(1) = 1$, ce qui donne l'équation :$$\frac{4 + k}{2\sqrt{7 + k}} = 1$$Ce qui équivaut à :$$4 + k = 2\sqrt{7 + k}$$
Étape 6
Puisqu'une racine carrée est toujours positive ou nulle, cette égalité impose la condition $4 + k > 0$, soit $k > -4$. En élevant les deux membres au carré, on obtient :$$(4 + k)^2 = \left(2\sqrt{7 + k}\right)^2$$$$16 + 8k + k^2 = 4(7 + k)$$$$16 + 8k + k^2 = 28 + 4k$$
Étape 7
En ramenant tous les termes du même côté, on obtient l'équation du second degré :$$k^2 + 4k - 12 = 0$$
Étape 8
On calcule le discriminant de ce polynôme :$$\Delta = 4^2 - 4 \times 1 \times (-12) = 16 + 48 = 64$$
Étape 9
Le discriminant étant strictement positif, l'équation admet deux solutions réelles :$$k_1 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 - 8}{2} = -6$$$$k_2 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 + 8}{2} = 2$$
Étape 10
Testons la validité de ces valeurs dans l'équation initiale $4 + k = 2\sqrt{7 + k}$ : pour $k = -6$, on a $4 + (-6) = -2$ et $2\sqrt{7 - 6} = 2$, or $-2 \neq 2$, donc $k = -6$ n'est pas solution ; pour $k = 2$, on a $4 + 2 = 6$ et $2\sqrt{7 + 2} = 2 \times 3 = 6$, donc $k = 2$ est l'unique solution.
Méthode clé
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative d'une fonction $f$ au point d'abscisse $a$ est égal à $f'(a)$. Pour dériver $\sqrt{u(x)}$, on applique la formule $\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$.
Piège à éviter
Lors de la résolution d'une équation comportant une racine carrée par élévation au carré, il faut impérativement vérifier que les solutions trouvées satisfont l'équation initiale.
