Étape 1
**Étape 1 : Calcul de la fonction dérivée**
La fonction $f$ est de la forme $\mathrm{e}^{u(x)}$ avec $u(x) = -2x^2 + ax - 1$.
La fonction $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme fonction polynomiale, et pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
$$u'(x) = -4x + a$$
En appliquant la formule de dérivation d'une fonction composée $(\mathrm{e}^u)' = u' \mathrm{e}^u$, la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est :
$$f'(x) = (-4x + a) \mathrm{e}^{-2x^2 + ax - 1}$$
Étape 2
**Étape 2 : Étude du signe de $f'(x)$ et variations de $f$**
Pour tout réel $x$, l'exponentielle est strictement positive, soit $\mathrm{e}^{-2x^2 + ax - 1} > 0$.
Le signe de $f'(x)$ est donc le même que celui du facteur $-4x + a$ :
- Pour $x < \dfrac{a}{4}$, $-4x + a > 0$ donc $f'(x) > 0$.
- Pour $x = \dfrac{a}{4}$, $-4x + a = 0$ donc $f'(x) = 0$.
- Pour $x > \dfrac{a}{4}$, $-4x + a < 0$ donc $f'(x) < 0$.
$$\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & \dfrac{a}{4} & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline f(x) & & \nearrow & f\left(\dfrac{a}{4}\right) & \searrow & \end{array}$$
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\left]-\infty \,; \dfrac{a}{4}\right]$ et strictement décroissante sur $\left[\dfrac{a}{4} \,; +\infty\right[$.
Elle admet ainsi un maximum absolu sur $\mathbb{R}$ atteint en $x = \dfrac{a}{4}$.
Étape 3
**Étape 3 : Expression du maximum et détermination de $a$**
Calculons la valeur de ce maximum en fonction de $a$ :
$$f\left(\dfrac{a}{4}\right) = \mathrm{e}^{-2\left(\frac{a}{4}\right)^2 + a\left(\frac{a}{4}\right) - 1} = \mathrm{e}^{-2 \cdot \frac{a^2}{16} + \frac{a^2}{4} - 1} = \mathrm{e}^{-\frac{a^2}{8} + \frac{2a^2}{8} - 1} = \mathrm{e}^{\frac{a^2}{8} - 1}$$
D'après l'énoncé, la valeur de ce maximum est égale à $\mathrm{e}$ (soit $\mathrm{e}^1$). On obtient donc l'équation :
$$\mathrm{e}^{\frac{a^2}{8} - 1} = \mathrm{e}^1$$
Par stricte croissance de la fonction exponentielle, cela équivaut à :
$$\dfrac{a^2}{8} - 1 = 1$$
$$\dfrac{a^2}{8} = 2$$
$$a^2 = 16$$
Le paramètre $a$ étant un réel strictement positif ($a > 0$), on en déduit :
$$a = 4$$
Méthode clé
Pour dériver une fonction de la forme $\mathrm{e}^{u(x)}$, on applique la formule $(\mathrm{e}^u)' = u' \mathrm{e}^u$. Le signe de la dérivée dépend uniquement de celui de $u'(x)$ car $\mathrm{e}^{u(x)} > 0$.
Piège à éviter
Oublier de multiplier par la dérivée de la fonction interne $u'(x)$ lors du calcul de $f'(x)$, ou confondre l'abscisse du maximum ($x = \dfrac{a}{4}$) avec la valeur maximale de la fonction.
