Exercice : Composition et dérivation

Étape 1

On pose $u = g(3)$. L'égalité donnée $f(g(3)) = 3$ se réécrit sous la forme $f(u) = 3$.

Étape 2

Pour tout réel $u \neq 1$, l'équation $f(u) = 3$ équivaut successivement à :

Étape 3

$$\frac{2u + 5}{u - 1} = 3$$

Étape 4

$$2u + 5 = 3(u - 1)$$

Étape 5

En développant le membre de droite, on obtient :

Étape 6

$$2u + 5 = 3u - 3$$

Étape 7

En regroupant les termes en $u$, on trouve $u = 8$. La valeur $8$ appartient bien au domaine de définition de $f$, donc $g(3) = 8$.

Étape 8

D'autre part, en utilisant l'expression de la fonction $g$, on calcule $g(3)$ en fonction de $k$ :

Étape 9

$$g(3) = 3^2 - 2 \times 3 + k = 9 - 6 + k = 3 + k$$

Étape 10

On résout enfin l'équation $3 + k = 8$, ce qui donne $k = 5$.