Exercice : Composition et dérivation

Étape 1

La vitesse de croissance instantanée de la population au bout de 2 heures correspond au nombre dérivé $f'(2)$.

Étape 2

La fonction $f$ est la composée $v \circ u$ où $u(t) = 3t^2 + 4$ et $v(x) = \sqrt{x}$.

Étape 3

La fonction $u$ est dérivable et strictement positive sur $[0 ; +\infty[$. Sa dérivée est $u'(t) = 6t$.

Étape 4

D'après la formule de dérivation des fonctions composées $(v \circ u)' = (v' \circ u) \times u'$, pour tout $t \ge 0$ : $$f'(t) = \frac{u'(t)}{2\sqrt{u(t)}} = \frac{6t}{2\sqrt{3t^2 + 4}} = \frac{3t}{\sqrt{3t^2 + 4}}$$

Étape 5

On évalue ensuite la dérivée en $t = 2$ : $$f'(2) = \frac{3 \times 2}{\sqrt{3 \times 2^2 + 4}} = \frac{6}{\sqrt{3 \times 4 + 4}} = \frac{6}{\sqrt{16}} = \frac{6}{4} = 1{,}5$$

Étape 6

La vitesse de croissance instantanée au bout de 2 heures est donc égale à $1{,}5$ (soit 1500 bactéries par heure).