Étape 1
La fonction $f$ est de la forme $\mathrm{e}^{u(x)}$ avec $u(x) = x^2 - 6x + 5$. La fonction $u$ est polynomiale donc dérivable sur $\mathbb{R}$, avec $$u'(x) = 2x - 6$$
Étape 2
Par composition, la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée s'exprime par $f'(x) = u'(x) \mathrm{e}^{u(x)}$. On obtient ainsi : $$f'(x) = (2x - 6) \mathrm{e}^{x^2 - 6x + 5}$$
Étape 3
Pour tout réel $x$, la propriété de la fonction exponentielle assure que $\mathrm{e}^{x^2 - 6x + 5} > 0$. Par conséquent, $f'(x)$ est du même signe que le facteur $2x - 6$.
Étape 4
Résolvons l'inéquation $2x - 6 > 0$ : $$2x - 6 > 0 \iff 2x > 6 \iff x > 3$$
Étape 5
Ainsi, $f'(x) < 0$ sur $]-\infty ; 3[$, $f'(3) = 0$, et $f'(x) > 0$ sur $]3 ; +\infty[$.
Étape 6
On en déduit que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty ; 3]$ et strictement croissante sur $[3 ; +\infty[$.
Étape 7
La fonction $f$ atteint donc son minimum absolu en $x = 3$.
Méthode clé
Pour étudier le signe d'une dérivée du type $u'(x)\mathrm{e}^{u(x)}$, on utilise le fait que $\mathrm{e}^{u(x)} > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Le signe dépend donc uniquement de $u'(x)$.
Piège à éviter
Oublier de dériver la fonction interne $u(x)$ lors du calcul de la dérivée de $\mathrm{e}^{u(x)}$.
