Exercice : Composition et dérivation

Étape 1

Étape 1 : Limite de la fonction rationnelle

Étape 2

Pour tout $x > 0$, on factorise par $x$ au numérateur et au dénominateur : $$\frac{a x + 5}{3x + 1} = \frac{x\left(a + \frac{5}{x}\right)}{x\left(3 + \frac{1}{x}\right)} = \frac{a + \frac{5}{x}}{3 + \frac{1}{x}}$$ Comme $\lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x} = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$, on obtient par somme et quotient : $$\lim_{x \to +\infty} \frac{a x + 5}{3x + 1} = \frac{a}{3}$$

Étape 3

Étape 2 : Limite par composition

Étape 4

On pose $u(x) = \frac{a x + 5}{3x + 1}$. On a $\lim_{x \to +\infty} u(x) = \frac{a}{3}$. De plus, la fonction exponentielle est continue sur $\mathbb{R}$, donc : $$\lim_{X \to \frac{a}{3}} \text{e}^X = \text{e}^{\frac{a}{3}}$$ Par composition des limites, il vient : $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \text{e}^{\frac{a}{3}}$$

Étape 5

Étape 3 : Détermination du paramètre $a$

Étape 6

On sait par énoncé que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \text{e}^2$. On en déduit l'égalité : $$\text{e}^{\frac{a}{3}} = \text{e}^2$$ Par stricte croissance de la fonction exponentielle sur $\mathbb{R}$, cela équivaut à : $$\frac{a}{3} = 2$$ d'où $a = 6$.