Factorisation et équations de degré supérieur
L'essentiel du cours (5 notions)
Équation de degré 3 : racine connue
Propriété : Si $z_0$ est une racine connue d'un polynôme $P(z)$ de degré 3, alors $P(z) = (z - z_0)(az^2 + bz + c)$ avec $a, b, c \in \mathbb{C}$ ($a \neq 0$).
Méthode : 1. Développer $(z - z_0)(az^2 + bz + c)$. 2. Identifier les coefficients avec $P(z)$ pour trouver $a, b, c$. 3. Résoudre l'équation du second degré $az^2 + bz + c = 0$ dans $\mathbb{C}$.
Exemple : Pour $z^3 - 2z^2 + z - 2 = 0$ de racine $2$ : $(z - 2)(z^2 + 1) = 0 \iff z \in \{2, i, -i\}$.
Factorisation de $z^n - a^n$
Propriété : Pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $a, z \in \mathbb{C}$, $z - a$ divise $z^n - a^n$. En particulier : $z^n - 1 = (z - 1)(z^{n-1} + \dots + z + 1)$.
Formule : $z^n - a^n = (z - a) \sum_{k=0}^{n-1} z^k a^{n-1-k}$
Exemple : $z^3 - 8 = z^3 - 2^3 = (z - 2)(z^2 + 2z + 4)$.
Formules de Viète et second degré
Propriété : Pour $az^2 + bz + c = 0$ ($a \neq 0$) de racines $z_1, z_2$ : leur somme vaut $S = -\frac{b}{a}$ et leur produit $P = \frac{c}{a}$.
Méthode : Trouver deux nombres de somme $S$ et de produit $P$ en résolvant l'équation $z^2 - Sz + P = 0$ dans $\mathbb{C}$.
Exemple : Si $z_1 + z_2 = 5$ et $z_1 z_2 = 6$, $z_1, z_2$ sont les solutions de $z^2 - 5z + 6 = 0$, soit $2$ et $3$.
Méthode de Cardan pour le degré 3
Propriété : Toute équation $az^3 + bz^2 + cz + d = 0$ ($a \neq 0$) se ramène à $x^3 + px + q = 0$ via le changement de variable $z = x - \frac{b}{3a}$.
Méthode : 1. Poser $z = x - \frac{b}{3a}$ pour éliminer le terme de degré 2. 2. Poser $x = u + v$ avec $3uv = -p$. 3. Déterminer $u^3$ et $v^3$ via une équation du second degré.
Recherche de racines rationnelles
Propriété : Soit $P(x) = a_n x^n + \dots + a_0$ à coefficients entiers. Si $\frac{p}{q}$ (irréductible) est racine de $P$, alors $p$ divise $a_0$ et $q$ divise $a_n$.
Méthode : 1. Lister les diviseurs $p$ de $a_0$ et $q$ de $a_n$. 2. Tester les candidats $\pm \frac{p}{q}$ dans $P(x)$.
Exemple : Pour $2x^3 - x - 1 = 0$ : $p \mid -1$, $q \mid 2$. Candidats : $\pm 1, \pm \frac{1}{2}$. Seul $1$ est racine.
Soit $P$ le polynôme défini pour tout nombre complexe $z$ par $P(z) = z^3 + b z^2 - 11 z + 6$, où $b$ est un nombre réel.
On sait que $P(z)$ se factorise sous la forme $P(z) = (z - 2)(z^2 + c z - 3)$, où $c$ est un nombre réel.
- Développer et réduire l'expression $(z - 2)(z^2 + c z - 3)$ selon les puissances décroissantes de $z$.
- Par identification des coefficients avec la forme $P(z) = z^3 + b z^2 - 11 z + 6$, déterminer la valeur du réel $c$, puis en déduire la valeur du réel $b$.
Saisir la valeur du coefficient $b$.
On considère le polynôme complexe $P(z) = z^4 - 16$.
En utilisant l'identité algébrique de factorisation de $z^n - a^n$ par $z - a$, on écrit $P(z)$ sous la forme $(z - 2) Q(z)$, où $Q(z)$ est un polynôme complexe.
En déterminant d'abord la forme développée du polynôme quotient $Q(z)$, calculer la valeur pivot $Q(2)$.
Saisir la valeur de $Q(2)$.
On considère le polynôme $P$ défini sur $\mathbb{C}$ par :
$$P(z) = z^3 - 3z^2 + 7z + k$$où $k$ est un nombre réel. On sait que $z_0 = 1$ est une racine de $P$.
Pour résoudre l'équation $P(z) = 0$ dans $\mathbb{C}$, suivre les étapes ci-dessous :
- Déterminer la valeur du réel $k$.
- En développant le produit $(z - 1)(z^2 + bz + c)$, déterminer par identification des coefficients les réels $b$ et $c$ tels que $P(z) = (z - 1)(z^2 + bz + c)$.
- Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation du second degré $z^2 + bz + c = 0$.
Saisir la partie imaginaire de la solution de l'équation dont la partie imaginaire est strictement positive.
On considère le polynôme $P$ défini pour tout nombre complexe $z$ par :
$$P(z) = z^3 - 3z^2 + 4z - 4$$
Le réel $2$ est une racine de $P$. Il existe donc un trinôme du second degré $Q(z) = z^2 + bz + c$, où $b$ et $c$ sont des réels, tel que pour tout $z \in \mathbb{C}$ :
$$P(z) = (z - 2)(z^2 + bz + c)$$
En factorisant $P(z)$ par identification des coefficients, déterminer le polynôme $Q(z)$, puis calculer la valeur du discriminant $\Delta$ de ce trinôme $Q(z)$ (pivot théorique justifiant la non-existence d'autres racines réelles).
Saisir la valeur du discriminant $\Delta$.
On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation suivante :
$$z^3 - 6z^2 + 21z - 26 = 0$$
Le nombre réel $2$ est solution de cette équation.
En factorisant le polynôme sous la forme $(z - 2)(az^2 + bz + c)$ par identification des coefficients, déterminer l'ensemble des solutions complexes de cette équation.
Déterminer la partie imaginaire de la solution dont la partie imaginaire est strictement positive.
Soit $a$ un entier naturel. On considère le nombre complexe $Z$ défini par :
$$Z = \sum_{k=0}^{7} (1+i)^k a^{7-k}$$On sait que le produit $(1 + i - a) Z$ est un nombre réel égal à $-240$.
Déterminer la valeur de l'entier naturel $a$.
On considère, pour tout nombre réel $m > 5$, l'équation d'inconnue complexe $z$ suivante :
$$z^3 - 4z^2 + mz - 2m + 8 = 0$$Sachant que le nombre réel $2$ est solution de cette équation et que les deux autres solutions complexes non réelles ont un module égal à $3$, déterminer la valeur du paramètre $m$.
Saisir la valeur du réel $m$.
On considère le polynôme $P$ défini sur $\mathbb{C}$ par :
$$P(z) = z^3 - 6z^2 + 21z - 26$$On admet que $2$ est une racine de $P$. L'équation $P(z) = 0$ possède deux solutions complexes non réelles, notées $z_1$ et $z_2$.
Déterminer la valeur du carré du module de leur différence, c'est-à-dire $|z_1 - z_2|^2$.
Saisir la valeur de $|z_1 - z_2|^2$.
On considère le polynôme $P$ défini pour tout nombre complexe $z$ par :
$$P(z) = z^3 - 8z^2 + (k + 12)z - 2k$$
où $k$ est un nombre réel. On admet que le nombre réel $2$ est une racine de $P$ pour toute valeur de $k$.
Déterminer la valeur du réel $k$ pour laquelle le quotient de la factorisation de $P(z)$ par $z - 2$ admet une racine double.
Saisir la valeur du réel $k$.
Soit $a$ un nombre réel strictement positif.
On pose $z = 1 + i$ et on considère le nombre complexe $S$ défini par :
$$S = \sum_{k=0}^{7} z^k a^{7-k}$$Sachant que la partie imaginaire du nombre complexe $S$ est égale à $120$, déterminer la valeur du réel $a$.
Saisir la valeur de $a$.
On rappelle le résultat suivant :
Soit $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ un polynôme à coefficients entiers ($a_n \neq 0$ et $a_0 \neq 0$). Si un nombre rationnel irréductible $r = \frac{p}{q}$ (avec $p \in \mathbb{Z}^*$, $q \in \mathbb{N}^*$ et $\text{PGCD}(p,q) = 1$) est racine de $P$, alors $p$ divise $a_0$ et $q$ divise $a_n$.
On considère la famille de polynômes $P_k(x) = 3x^3 - 11x^2 + kx - 2$, où $k$ est un nombre entier relatif.
Par une étude arithmétique rigoureuse, déterminer la plus grande valeur entière de $k$ pour laquelle le polynôme $P_k$ admet au moins une racine rationnelle.
Saisir la plus grande valeur entière de $k$.
Soit $k$ un entier relatif. On considère la fonction polynomiale $P$ définie sur $\mathbb{C}$ par :
$$P(z) = 3z^3 - kz^2 - 19z - 5$$On suppose que le polynôme $P$ admet trois racines rationnelles distinctes.
Propriété (admise) : Soit $A(z) = a_n z^n + \dots + a_1 z + a_0$ un polynôme à coefficients entiers avec $a_n \neq 0$ et $a_0 \neq 0$. Si une fraction irréductible $\frac{p}{q}$ (avec $p \in \mathbb{Z}$, $q \in \mathbb{N}^*$ et $\text{PGCD}(p,q)=1$) est une racine de $A$, alors $p$ divise $a_0$ et $q$ divise $a_n$.
Saisir la valeur de l'entier $k$.
Soit $k$ un nombre réel strictement positif. On s'intéresse à l'équation d'inconnue complexe $z$ :
$$z^3 - 27z + k = 0$$Pour résoudre cette équation, on pose $z = u + v$, où $u$ et $v$ sont deux nombres complexes. En imposant une condition appropriée sur le produit $uv$, la somme $u^3 + v^3$ et le produit $u^3 v^3$ permettent de définir une équation du second degré d'inconnue $X$ dont $u^3$ et $v^3$ sont les solutions.
Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour laquelle cette équation du second degré associée possède une unique solution réelle (racine double).
Saisir la valeur de $k$.