Exercice : Factorisation et équations de degré supérieur

Étape 1

Soit $P_k(x) = 3x^3 - 11x^2 + kx - 2$ avec $k \in \mathbb{Z}$. Supposons que $P_k$ admette une racine rationnelle $r = \frac{p}{q}$ écrite sous forme irréductible, avec $p \in \mathbb{Z}^*$ et $q \in \mathbb{N}^*$.

Étape 2

D'après la propriété de divisibilité appliquée à $P_k$ : - Le numérateur $p$ doit diviser le terme constant $a_0 = -2$, donc $p \in \{-2, -1, 1, 2\}$. - Le dénominateur $q$ doit diviser le coefficient dominant $a_3 = 3$, donc $q \in \{1, 3\}$.

Étape 3

On en déduit la liste exhaustive des valeurs rationnelles candidates pour $r$ : $$r \in \left\{-2, -1, -\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1, 2\right\}$$

Étape 4

Si $r$ est racine de $P_k$, alors $3r^3 - 11r^2 + kr - 2 = 0$. Comme $r \neq 0$, cela équivaut à : $$k = \frac{2 + 11r^2 - 3r^3}{r}$$

Étape 5

Testons chacun des 8 candidats pour déterminer lesquels donnent une valeur de $k$ entière : - Pour $r = 1$ : $k = \frac{2 + 11 - 3}{1} = 10 \in \mathbb{Z}$. - Pour $r = -1$ : $k = \frac{2 + 11 + 3}{-1} = -16 \in \mathbb{Z}$. - Pour $r = 2$ : $k = \frac{2 + 44 - 24}{2} = 11 \in \mathbb{Z}$. - Pour $r = -2$ : $k = \frac{2 + 44 + 24}{-2} = -35 \in \mathbb{Z}$. - Pour $r = \frac{1}{3}$ : $k = 3 \left(2 + \frac{11}{9} - \frac{1}{9}\right) = \frac{28}{3} \notin \mathbb{Z}$. - Pour $r = -\frac{1}{3}$ : $k = -3 \left(2 + \frac{11}{9} + \frac{1}{9}\right) = -10 \in \mathbb{Z}$. - Pour $r = \frac{2}{3}$ : $k = \frac{3}{2} \left(2 + \frac{44}{9} - \frac{8}{9}\right) = 9 \in \mathbb{Z}$. - Pour $r = -\frac{2}{3}$ : $k = -\frac{3}{2} \left(2 + \frac{44}{9} + \frac{8}{9}\right) = -\frac{35}{3} \notin \mathbb{Z}$.

Étape 6

Les valeurs entières de $k$ permettant l'existence d'au moins une racine rationnelle sont donc $\{-35, -16, -10, 9, 10, 11\}$. La plus grande valeur entière de $k$ est $11$.