Étape 1
Soit $r = \frac{p}{q}$ une racine rationnelle de $P(z) = 3z^3 - kz^2 - 19z - 5$, exprimée sous forme d'une fraction irréductible avec $p \in \mathbb{Z}$, $q \in \mathbb{N}^*$ et $\text{PGCD}(p,q) = 1$. D'après le théorème des racines rationnelles, $p$ divise le terme constant $-5$ et $q$ divise le coefficient dominant $3$.
Étape 2
Les diviseurs entiers de $-5$ sont $p \in \{-5, -1, 1, 5\}$ et les diviseurs positifs de $3$ sont $q \in \{1, 3\}$. L'ensemble des racines rationnelles candidates pour $P$ est donc :$$\mathcal{S} = \left\{-5, -1, -\frac{5}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{5}{3}, 1, 5\right\}$$
Étape 3
Soient $r_1, r_2, r_3$ les trois racines rationnelles distinctes de $P$. Le polynôme s'écrit sous forme factorisée :$$P(z) = 3(z - r_1)(z - r_2)(z - r_3)$$
Étape 4
En développant cette expression, on obtient :$$P(z) = 3z^3 - 3(r_1 + r_2 + r_3)z^2 + 3(r_1 r_2 + r_2 r_3 + r_1 r_3)z - 3 r_1 r_2 r_3$$
Étape 5
Par identification des coefficients avec $P(z) = 3z^3 - kz^2 - 19z - 5$, on obtient le système suivant :$$r_1 r_2 r_3 = \frac{5}{3} \quad \text{et} \quad r_1 r_2 + r_2 r_3 + r_1 r_3 = -\frac{19}{3}$$
Étape 6
En cherchant parmi les éléments de $\mathcal{S}$ un triplet de valeurs distinctes vérifiant ces deux égalités, la seule combinaison valide est :$$r_1 = -1, \quad r_2 = 5, \quad r_3 = -\frac{1}{3}$$En effet, $(-1) \times 5 \times \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{5}{3}$ et $(-1) \times 5 + 5 \times \left(-\frac{1}{3}\right) + (-1) \times \left(-\frac{1}{3}\right) = -5 - \frac{5}{3} + \frac{1}{3} = -\frac{19}{3}$.
Étape 7
La somme de ces trois racines vaut :$$r_1 + r_2 + r_3 = -1 + 5 - \frac{1}{3} = 4 - \frac{1}{3} = \frac{11}{3}$$
Étape 8
Comme le coefficient du terme en $z^2$ donne $k = 3(r_1 + r_2 + r_3)$, on en déduit :$$k = 3 \times \frac{11}{3} = 11$$
Méthode clé
Utiliser les diviseurs du terme constant et du coefficient dominant pour lister les racines rationnelles possibles, puis identifier les relations entre racines et coefficients.
Piège à éviter
Oublier de tester les valeurs négatives pour le numérateur $p$ ou confondre le rôle du terme constant et du coefficient dominant.
