Étape 1
Comme $2$ est une racine du polynôme $P$, il existe trois réels $A$, $B$ et $C$ tels que pour tout $z \in \mathbb{C}$ :$$P(z) = (z - 2)(A z^2 + B z + C)$$
Étape 2
En développant cette expression, on obtient :$$P(z) = A z^3 + (B - 2A) z^2 + (C - 2B) z - 2C$$Par identification avec les coefficients de $P(z) = z^3 - 6z^2 + 21z - 26$, on obtient le système :$$\begin{cases} A = 1 \\ B - 2A = -6 \\ C - 2B = 21 \\ -2C = -26 \end{cases}$$
Étape 3
On résout ce système ligne par ligne : $A = 1$, puis $B = -6 + 2(1) = -4$, et $C = 21 + 2(-4) = 13$. La dernière équation $-2 \times 13 = -26$ confirme la cohérence du résultat. Ainsi, pour tout $z \in \mathbb{C}$ :$$P(z) = (z - 2)(z^2 - 4z + 13)$$
Étape 4
Les deux solutions complexes non réelles de $P(z) = 0$ sont les racines du polynôme du second degré $Q(z) = z^2 - 4z + 13$. On calcule son discriminant :$$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 13 = 16 - 52 = -36$$
Étape 5
Comme $\Delta < 0$, l'équation $Q(z) = 0$ admet deux solutions complexes conjuguées :$$z_1 = \frac{4 + i\sqrt{36}}{2} = 2 + 3i \quad \text{et} \quad z_2 = 2 - 3i$$
Étape 6
On calcule la différence entre ces deux solutions :$$z_1 - z_2 = (2 + 3i) - (2 - 3i) = 6i$$Le carré de son module vaut donc :$$|z_1 - z_2|^2 = |6i|^2 = 6^2 = 36$$
Méthode clé
Lorsqu'une racine $a$ d'un polynôme $P$ de degré 3 est connue, on écrit $P(z) = (z - a)(Az^2 + Bz + C)$ et on identifie les coefficients pour trouver le quotient du second degré.
Piège à éviter
Faire une erreur de signe lors du développement du produit $(z - 2)(Az^2 + Bz + C)$ ou oublier que $\sqrt{-36} = 6i$ lors du calcul des racines complexes.
