Forme algébrique $z = a + ib$ et calculs
L'essentiel du cours (4 notions)
Forme algébrique et opérations dans $\mathbb{C}$
Définition : Tout complexe s'écrit de façon unique $z = a + \mathrm{i}b$ avec $a,b \in \mathbb{R}$ et $\mathrm{i}^2 = -1$. $a = \mathrm{Re}(z)$ est la partie réelle, $b = \mathrm{Im}(z)$ la partie imaginaire.
Propriété : Le conjugué est $\bar{z} = a - \mathrm{i}b$. Si $z \neq 0$, $z \bar{z} = a^2 + b^2$ et son inverse est $\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{a^2 + b^2}$.
Exemple : Pour $z = 1 + 2\mathrm{i}$ : $\bar{z} = 1 - 2\mathrm{i}$ et $\frac{1}{z} = \frac{1-2\mathrm{i}}{1^2+2^2} = \frac{1}{5} - \frac{2}{5}\mathrm{i}$.
Résolution de l'équation $az = b$
Méthode : 1. Isoler $z$ : si $a \neq 0$, $z = \frac{b}{a}$. 2. Multiplier numérateur et dénominateur par $\bar{a}$ pour rendre le dénominateur réel. 3. Écrire le résultat sous forme algébrique.
Exemple : $\mathrm{i} z = 2 + \mathrm{i} \iff z = \frac{2+\mathrm{i}}{\mathrm{i}} = \frac{(2+\mathrm{i})(-\mathrm{i})}{1} = 1 - 2\mathrm{i}$.
Équations comportant $z$ et $\bar{z}$
Méthode : 1. Poser $z = x + \mathrm{i}y$ ($x,y \in \mathbb{R}$) et $\bar{z} = x - \mathrm{i}y$. 2. Regrouper pour obtenir $A(x,y) + \mathrm{i}B(x,y) = 0$. 3. Résoudre le système réel $A(x,y) = 0$ et $B(x,y) = 0$.
Exemple : $2z + \bar{z} = 3 + \mathrm{i} \iff 3x + \mathrm{i}y = 3 + \mathrm{i} \iff x=1, y=1$, d'où $z = 1 + \mathrm{i}$.
Formule du binôme de Newton
Propriété : Pour $a,b \in \mathbb{C}$ et $n \in \mathbb{N}$ : $(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$. Les coefficients $\binom{n}{k}$ s'obtiennent avec le triangle de Pascal.
Exemple : $(1+\mathrm{i})^3 = 1^3 + 3(1)^2\mathrm{i} + 3(1)\mathrm{i}^2 + \mathrm{i}^3 = 1 + 3\mathrm{i} - 3 - \mathrm{i} = -2 + 2\mathrm{i}$.
On considère le nombre complexe $Z = \dfrac{7+i}{3-i}$.
- Écrire $Z$ sous sa forme algébrique $a+ib$, avec $a$ et $b$ réels.
- En déduire la valeur de la partie réelle de $Z$.
Saisir la valeur de la partie réelle de $Z$.
Soit $k$ un nombre réel. On considère l'équation d'inconnue complexe $z$ :
$$(1 + 2i) z = k - 5i$$Sachant que la partie réelle de la solution $z$ est égale à $3$, déterminer la valeur du réel $k$.
Valeur de $k$ :
Soit $k$ un nombre réel.
On considère l'équation d'inconnue complexe $z$ :
$$(2 + i) z = k + 5i$$En exprimant d'abord la solution $z$ sous forme algébrique en fonction de $k$, déterminer la valeur de $k$ pour laquelle la partie réelle de $z$ est égale à $3$.
Saisir la valeur du réel $k$.
On considère l'équation $3z - 2\bar{z} = 4 + 15\mathrm{i}$ d'inconnue complexe $z$.
En posant $z = x + \mathrm{i}y$ avec $x$ et $y$ réels, déterminer la partie réelle $x$ du nombre complexe $z$ solution de cette équation.
Saisir la valeur de $x$.
Soit $a$ un nombre réel strictement positif.
On pose $z = (a + \mathrm{i})^3$.
À l'aide de la formule du binôme de Newton, développer $z$ sous forme algébrique puis déterminer la valeur de $a$ sachant que la partie imaginaire de $z$ est égale à $11$.
Saisir la valeur de $a$.
Pour tout nombre réel $k$, on considère le nombre complexe :
$$Z(k) = (2 + \text{i})^3 + k(1 + 2\text{i})^3$$
En développant les puissances à l'aide de la formule du binôme de Newton, déterminer la valeur du paramètre réel $k$ pour laquelle $Z(k)$ est un nombre réel.
Saisir la valeur de $k$ sous forme décimale.
Soit $k$ un nombre réel. On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation d'inconnue $z$ :
$$(3 - 2i) z = k + 8i$$
Déterminer la valeur du réel $k$ pour laquelle la partie imaginaire de l'unique solution de cette équation est égale à $4$.
Saisir la valeur de $k$.
Soit $k$ un nombre réel strictement positif. On considère le nombre complexe défini par :
$$Z = (k + 2i)^4$$On cherche la valeur de $k$ pour laquelle le nombre complexe $Z$ est un nombre réel.
Quelle est la valeur du réel $k > 0$ ?
Soit $k$ un nombre réel. On considère le nombre complexe $z$ défini par :
$$z = \frac{2 + ik}{3 - 4i}$$Sachant que la partie réelle de $z$ est égale à $2$, déterminer la valeur du réel $k$.
Saisir la valeur de $k$.
Soit $k$ un nombre réel. On considère l'équation d'inconnue complexe $z$ suivante :
$$ (3 + i) z - 2k + 1 = (1 - i) z + k i - 4 $$Déterminer la valeur du réel $k$ pour laquelle la solution $z$ de cette équation est un nombre réel.
Saisir la valeur du réel $k$.
Soit $k$ un nombre réel. On considère l'équation d'inconnue complexe $z$ suivante :
$$ (3+i)z + (1-2i)\overline{z} = k + 5i $$Sachant que cette équation admet une solution $z$ dont la partie réelle est égale à $7$, déterminer la valeur du paramètre réel $k$.
Saisir la valeur de $k$.
On considère le nombre complexe $z = 2 - 3\mathrm{i}$.
Pour tout nombre réel $k$, on définit le nombre complexe $Z$ par :
$$Z = \frac{k z + 4\mathrm{i}}{\overline{z} - \mathrm{i}}$$
Déterminer la valeur du réel $k$ pour laquelle $Z$ est un nombre réel.
Saisir cette valeur sous la forme d'une fraction irréductible ou d'un nombre décimal.
Soit $k$ un nombre réel strictement supérieur à $1$.
On considère le nombre complexe $Z = (k + \text{i})^4$.
Sachant que la partie imaginaire de $Z$ est égale à $\dfrac{15}{2}$, déterminer la valeur de $k$.
Saisir la valeur de $k$ sous forme d'une fraction irréductible.