Étape 1
Soit $k$ un nombre réel. On regroupe les termes contenant l'inconnue $z$ dans le membre de gauche : $$ (3 + i) z - (1 - i) z = 2k - 5 + k i $$
Étape 2
En factorisant par $z$ dans le membre de gauche, on obtient : $$ (2 + 2i) z = (2k - 5) + k i $$
Étape 3
Comme $2 + 2i \neq 0$, on exprime $z$ sous forme de quotient : $$ z = \frac{(2k - 5) + k i}{2 + 2i} $$
Étape 4
Pour déterminer la forme algébrique de $z$, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, c'est-à-dire $2 - 2i$ : $$ z = \frac{((2k - 5) + k i)(2 - 2i)}{(2 + 2i)(2 - 2i)} $$
Étape 5
En développant le numérateur et en observant que $i^2 = -1$ : $$ z = \frac{2(2k - 5) - 2i(2k - 5) + 2k i - 2k i^2}{2^2 + 2^2} $$ $$ z = \frac{4k - 10 + 2k + i(-4k + 10 + 2k)}{8} $$ $$ z = \frac{6k - 10}{8} + i \frac{-2k + 10}{8} $$
Étape 6
Un nombre complexe est un nombre réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle. La condition s'écrit donc : $$ \text{Im}(z) = 0 $$
Étape 7
Ce qui équivaut à : $$ \frac{-2k + 10}{8} = 0 $$ D'où $-2k + 10 = 0$, ce qui donne $2k = 10$, soit $k = 5$.
Méthode clé
Un nombre complexe sous forme algébrique $a + ib$ est un nombre réel si et seulement si sa partie imaginaire $b$ est nulle.
Piège à éviter
Oublier de multiplier par le complexe conjugué du dénominateur avant d'isoler la partie imaginaire.
