Exercice : Forme algébrique $z = a + ib$ et calculs

Étape 1

Pour écrire le nombre complexe $Z$ sous forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, qui est $\overline{3-i} = 3+i$.

Étape 2

On calcule séparément le dénominateur :

Étape 3

$$(3-i)(3+i) = 3^2 - i^2 = 9 - (-1) = 10$$

Étape 4

On développe le numérateur :

Étape 5

$$(7+i)(3+i) = 21 + 7i + 3i + i^2 = 21 + 10i - 1 = 20 + 10i$$

Étape 6

On en déduit l'expression de $Z$ sous forme algébrique :

Étape 7

$$Z = \dfrac{20 + 10i}{10} = \dfrac{20}{10} + \dfrac{10}{10}i = 2 + i$$

Étape 8

La partie réelle de $Z$, notée $\text{Re}(Z)$, est le coefficient réel sans le facteur $i$. Ainsi, la partie réelle de $Z$ est égale à $2$.