Étape 1
Pour déterminer la valeur du réel $k$, exprimons d'abord le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique $a + ib$ avec $a$ et $b$ réels.
Étape 2
Le conjugué du dénominateur $3 - 4i$ est $3 + 4i$. En multipliant le numérateur et le dénominateur de $z$ par $3 + 4i$, on obtient :
Étape 3
$$z = \frac{(2 + ik)(3 + 4i)}{(3 - 4i)(3 + 4i)}$$
Étape 4
Au dénominateur, en utilisant la propriété $(a - ib)(a + ib) = a^2 + b^2$, on trouve :
Étape 5
$$(3 - 4i)(3 + 4i) = 3^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25$$
Étape 6
Au numérateur, on développe l'expression en rappelant que $i^2 = -1$ :
Étape 7
$$(2 + ik)(3 + 4i) = 6 + 8i + 3ik + 4i^2 k = (6 - 4k) + i(8 + 3k)$$
Étape 8
On en déduit la forme algébrique de $z$ :
Étape 9
$$z = \frac{6 - 4k}{25} + i \frac{8 + 3k}{25}$$
Étape 10
La partie réelle de $z$ est donc $\text{Re}(z) = \frac{6 - 4k}{25}$.
Étape 11
D'après l'énoncé, $\text{Re}(z) = 2$, ce qui équivaut successivement à :
Étape 12
$$\frac{6 - 4k}{25} = 2$$
Étape 13
$$6 - 4k = 50$$
Étape 14
$$-4k = 44$$
Étape 15
$$k = -11$$
Étape 16
La valeur du réel $k$ recherchée est donc $-11$.
Méthode clé
Pour écrire le quotient de deux nombres complexes sous forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué du dénominateur.
Piège à éviter
Oublier que $i^2 = -1$ lors du développement du numérateur, ce qui modifierait le signe du terme en $k$ dans la partie réelle.
