Étape 1
Pour tout réel $k$, développons le nombre complexe $Z = (k + \text{i})^4$ à l'aide de la formule du binôme de Newton :
Étape 2
$$Z = \sum_{p=0}^4 \binom{4}{p} k^{4-p} \text{i}^p$$
Étape 3
En utilisant les coefficients binomiaux de rang $4$ ($1, 4, 6, 4, 1$) et les puissances de $\text{i}$ ($\text{i}^0 = 1$, $\text{i}^1 = \text{i}$, $\text{i}^2 = -1$, $\text{i}^3 = -\text{i}$, $\text{i}^4 = 1$), on obtient :
Étape 4
$$Z = k^4 + 4k^3\text{i} - 6k^2 - 4k\text{i} + 1$$
Étape 5
En séparant partie réelle et partie imaginaire, on écrit $Z$ sous forme algébrique :
Étape 6
$$Z = (k^4 - 6k^2 + 1) + \text{i}(4k^3 - 4k)$$
Étape 7
La partie imaginaire de $Z$ est donc $\text{Im}(Z) = 4k^3 - 4k$. D'après l'énoncé, elle est égale à $\dfrac{15}{2}$. On résout ainsi l'équation :
Étape 8
$$4k^3 - 4k = \dfrac{15}{2}$$
Étape 9
Ce qui équivaut à :
Étape 10
$$8k^3 - 8k - 15 = 0$$
Étape 11
En testant les valeurs rationnelles simples, la valeur $k = \dfrac{3}{2}$ annule le polynôme
Étape 12
$$8\left(\dfrac{3}{2}\right)^3 - 8\left(\dfrac{3}{2}\right) - 15 = 8 \times \dfrac{27}{8} - 12 - 15 = 27 - 27 = 0$$
Étape 13
Le réel $\dfrac{3}{2}$ est donc une racine du polynôme. On peut factoriser l'expression par $2k - 3$ :
Étape 14
$$8k^3 - 8k - 15 = (2k - 3)(4k^2 + 6k + 5)$$
Étape 15
Étudions le trinôme du second degré $4k^2 + 6k + 5$. Son discriminant vaut :
Étape 16
$$\Delta = 6^2 - 4 \times 4 \times 5 = 36 - 80 = -44$$
Étape 17
Le discriminant étant strictement négatif, ce trinôme n'admet aucune racine réelle.
Étape 18
L'unique solution réelle de l'équation est donc $k = \dfrac{3}{2}$, qui est bien strictement supérieure à $1$.
Méthode clé
Développer une puissance entière d'un nombre complexe à l'aide des coefficients binomiaux, simplifier les puissances de $\text{i}$, puis identifier les parties réelle et imaginaire.
Piège à éviter
Prendre garde aux puissances successives de $\text{i}$ : $\text{i}^2 = -1$, $\text{i}^3 = -\text{i}$ et $\text{i}^4 = 1$.
