Exercice : Forme algébrique $z = a + ib$ et calculs

Étape 1

D'après la formule du binôme de Newton au rang 3, pour tous complexes $u$ et $v$ : $$(u + v)^3 = u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3$$

Étape 2

En appliquant cette identité à $u = a$ et $v = \mathrm{i}$, on obtient : $$z = a^3 + 3a^2\mathrm{i} + 3a\mathrm{i}^2 + \mathrm{i}^3$$

Étape 3

Sachant que $\mathrm{i}^2 = -1$ et $\mathrm{i}^3 = -\mathrm{i}$, on réduit les termes : $$z = a^3 + 3a^2\mathrm{i} - 3a - \mathrm{i} = (a^3 - 3a) + \mathrm{i}(3a^2 - 1)$$

Étape 4

La partie imaginaire de $z$ est donc $\operatorname{Im}(z) = 3a^2 - 1$.

Étape 5

On sait que la partie imaginaire vaut $11$, ce qui se traduit par l'équation : $$3a^2 - 1 = 11$$ D'où : $$3a^2 = 12$$ Soit : $$a^2 = 4$$

Étape 6

Le réel $a$ étant strictement positif par hypothèse, on en déduit que $a = 2$.