Étape 1
Soit $k$ un nombre réel. Posons $z = x + iy$, où $x$ et $y$ sont des nombres réels. Son conjugué s'écrit alors $\overline{z} = x - iy$.
Étape 2
En substituant $z$ et $\overline{z}$ dans l'équation initiale, nous obtenons :$$ (3+i)(x+iy) + (1-2i)(x-iy) = k + 5i $$
Étape 3
Développons le membre de gauche :$$ 3x + 3iy + ix - y + x - iy - 2ix - 2y = k + 5i $$
Étape 4
En regroupant la partie réelle et la partie imaginaire, l'équation s'écrit :$$ (4x - 3y) + i(-x + 2y) = k + 5i $$
Étape 5
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales. Comme $k$ est un nombre réel, nous obtenons le système d'équations réelles suivant :$$ \begin{array}{rcc} 4x - 3y &=& k \\ -x + 2y &=& 5 \end{array} $$
Étape 6
L'énoncé indique que la partie réelle de $z$ vaut $7$, c'est-à-dire $x = 7$.
Étape 7
Substituons $x = 7$ dans la seconde équation pour déterminer $y$ :$$ -7 + 2y = 5 $$ ce qui équivaut à $2y = 12$, d'où $y = 6$.
Étape 8
La solution complexe de l'équation est donc $z = 7 + 6i$.
Étape 9
Injectons enfin les valeurs $x = 7$ et $y = 6$ dans la première équation pour trouver $k$ :$$ k = 4 \times 7 - 3 \times 6 = 28 - 18 = 10 $$
Étape 10
La valeur du paramètre réel $k$ est donc $10$.
Méthode clé
Écrire $z = x + iy$ avec $x, y \in \mathbb{R}$, puis égaler séparément les parties réelles et imaginaires des deux membres.
Piège à éviter
Oublier de préciser que $x$ et $y$ sont réels, ou confondre le conjugué $\overline{z} = x - iy$ avec $z$.
