Exercice : Forme algébrique $z = a + ib$ et calculs

Étape 1

Pour déterminer la valeur du réel $k$, on exprime d'abord la solution $z$ sous forme algébrique.

Étape 2

L'équation $(2 + i) z = k + 5i$ donne : $$z = \frac{k + 5i}{2 + i}$$

Étape 3

Pour obtenir la forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, c'est-à-dire $2 - i$ : $$z = \frac{(k + 5i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)}$$

Étape 4

En développant au numérateur et au dénominateur, on obtient : $$z = \frac{2k - ki + 10i - 5i^2}{2^2 + 1^2} = \frac{2k - ki + 10i + 5}{5}$$

Étape 5

On regroupe la partie réelle et la partie imaginaire : $$z = \frac{2k + 5}{5} + i \frac{10 - k}{5}$$

Étape 6

La partie réelle de $z$ est donc $\text{Re}(z) = \frac{2k + 5}{5}$.

Étape 7

On cherche $k$ tel que $\text{Re}(z) = 3$, ce qui donne l'équation : $$\frac{2k + 5}{5} = 3$$

Étape 8

Ce qui équivaut à $2k + 5 = 15$, d'où $2k = 10$, c'est-à-dire $k = 5$.