Inverse de matrice et systèmes $AX = B$
L'essentiel du cours (3 notions)
Inverse et puissances de matrices
Définition : Une matrice carrée $A$ est inversible s'il existe une matrice $A^{-1}$ telle que $A A^{-1} = A^{-1} A = I_n$, où $I_n$ est la matrice identité.
Formule : $A^{-1} = \frac{1}{a d - b c} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ pour $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ si $a d - b c \neq 0$
Méthode : 1. Pour l'ordre 3, exprimer $I_3$ en combinaison linéaire des puissances de $A$ pour déduire $A^{-1}$. 2. Pour $A^n$, conjecturer la formule puis la démontrer par récurrence.
Résolution matricielle de systèmes linéaires
Définition : Un système linéaire de $n$ équations à $n$ inconnues se traduit sous forme matricielle $A X = B$, où $A$ est la matrice des coefficients, $X$ la colonne des inconnues et $B$ le second membre.
Propriété : Si la matrice $A$ est inversible, alors le système $A X = B$ admet une unique solution donnée par $X = A^{-1} B$.
Méthode : 1. Écrire le système sous forme matricielle $A X = B$. 2. Vérifier que $A$ est inversible et déterminer $A^{-1}$. 3. Calculer le produit $X = A^{-1} B$ en respectant l'ordre des facteurs.
Interpolation polynomiale et calcul matriciel
Définition : L'interpolation polynomiale consiste à déterminer les coefficients d'un polynôme $P(x) = a_n x^n + \dots + a_0$ dont la courbe passe par des points donnés.
Méthode : 1. Écrire la forme générale du polynôme $P(x)$. 2. Injecter les coordonnées des points $P(x_i) = y_i$ pour former le système linéaire. 3. Résoudre le système sous forme matricielle $A X = B$ via $X = A^{-1} B$.
Exemple : Passant par $(0,1)$, $(1,3)$, $(2,7)$ : poser $\begin{pmatrix}0&0&1\\1&1&1\\4&2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\\7\end{pmatrix}$ puis déduire $X=A^{-1}B$.
On considère la matrice $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ et sa matrice inverse $A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & k \end{pmatrix}$, où $k$ est un nombre réel.
En utilisant la définition de la matrice inverse, déterminer la valeur du nombre réel $k$.
Quelle est la valeur du nombre réel $k$ ?
Soit la matrice carrée d'ordre 2 :
$$A = \begin{pmatrix} 5 & -6 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$$On étudie la relation algébrique matricielle de la forme $A^2 - 3A + q I_2 = O_2$, où $I_2$ est la matrice identité d'ordre 2, $O_2$ est la matrice nulle d'ordre 2 et $q$ est un nombre entier relatif.
Déterminer la valeur exacte de l'entier $q$.
On considère le système linéaire suivant :
$$\begin{cases} 5x + 3y = 41 \\ 3x + 2y = 26 \end{cases}$$
On note $A = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ la matrice associée à ce système. On admet que la matrice $A$ est inversible et que son inverse est :
$$A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}$$
À l'aide de l'écriture matricielle du système, déterminer la valeur de l'inconnue $y$.
Saisir la valeur de $y$.
On considère la matrice $A = \begin{pmatrix} k & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, dépendante d'un nombre réel $k \neq \frac{3}{2}$.
On note $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ la matrice identité d'ordre 2.
On sait qu'il existe une matrice carrée $M$ d'ordre 2 vérifiant $A M = I_2$, et que le coefficient situé sur la première ligne et la première colonne de la matrice $M$ est égal à $2$.
Déterminer la valeur du nombre réel $k$.
On considère le système linéaire d'inconnues $x$, $y$ et $z$ suivant :
$$\begin{cases} x + y + z = k \\ y + 2z = 2k \\ x + 2y + 4z = k + 1 \end{cases}$$
où $k$ est un nombre réel.
On note $A$ la matrice des coefficients associée à ce système et on pose la matrice suivante :
$$B = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 1 \\ 2 & 3 & -2 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$
Déterminer la valeur du réel $k$ pour laquelle la solution $(x, y, z)$ du système vérifie $y = 16$.
Saisir la valeur de $k$.
On considère la fonction polynôme $P$ définie sur $\mathbb{R}$ par $P(x) = a x^2 + b x + c$, où $a, b, c$ sont des réels.
La courbe représentative de $P$ passe par les points $A(1 ; 2)$, $B(2 ; k)$ et $C(4 ; 11)$, où $k$ est un réel.
On définit les matrices $X = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$, $Y = \begin{pmatrix} 2 \\ k \\ 11 \end{pmatrix}$ et $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 16 & 4 & 1 \end{pmatrix}$.
On admet que la matrice $M$ est inversible et que son inverse est donnée par :
$$M^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} \\[1ex] -2 & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} \\[1ex] \frac{8}{3} & -2 & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$$Sachant que la fonction $P$ admet un extremum local en $x = 3$, déterminer la valeur du réel $k$.
Saisir la valeur du réel $k$.