Exercice : Inverse de matrice et systèmes $AX = B$

Étape 1

Écrivons le système sous forme matricielle. En posant : $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad C_k = \begin{pmatrix} k \\ 2k \\ k + 1 \end{pmatrix}$$ le système équivaut à l'égalité matricielle $AX = C_k$.

Étape 2

Calculons le produit matriciel $AB$ : $$AB = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -2 & 1 \\ 2 & 3 & -2 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I_3$$ Comme $A$ et $B$ sont deux matrices carrées d'ordre 3 vérifiant $AB = I_3$, la matrice $A$ est inversible et son inverse est $A^{-1} = B$.

Étape 3

L'équation $AX = C_k$ admet donc une unique solution donnée par $X = A^{-1} C_k = B C_k$.

Étape 4

Calculons la deuxième composante $y$ de la colonne $X$ en multipliant la deuxième ligne de $B$ par $C_k$ : $$y = 2 \times k + 3 \times (2k) + (-2) \times (k + 1)$$ ce qui se simplifie en : $$y = 2k + 6k - 2k - 2 = 6k - 2$$

Étape 5

La condition $y = 16$ équivaut alors à : $$6k - 2 = 16$$ d'où $6k = 18$, soit $k = 3$.