Exercice : Inverse de matrice et systèmes $AX = B$

Étape 1

Les points $A(1 ; 2)$, $B(2 ; k)$ et $C(4 ; 11)$ appartiennent à la courbe représentative de la fonction $P(x) = a x^2 + b x + c$. On a donc le système :

Étape 2

$$P(1) = a + b + c = 2$$ $$P(2) = 4a + 2b + c = k$$ $$P(4) = 16a + 4b + c = 11$$

Étape 3

Ce système d'équations est équivalent à l'égalité matricielle $M X = Y$, avec $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 16 & 4 & 1 \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ et $Y = \begin{pmatrix} 2 \\ k \\ 11 \end{pmatrix}$.

Étape 4

La matrice $M$ étant inversible, la solution du système s'écrit $X = M^{-1} Y$, soit :

Étape 5

$$\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} \\[1ex] -2 & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} \\[1ex] \frac{8}{3} & -2 & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ k \\ 11 \end{pmatrix}$$

Étape 6

En calculant les deux premières lignes du produit matriciel, on obtient les expressions de $a$ et $b$ en fonction de $k$ :

Étape 7

$$a = \frac{1}{3} \times 2 - \frac{1}{2} \times k + \frac{1}{6} \times 11 = \frac{4 - 3k + 11}{6} = \frac{15 - 3k}{6} = \frac{5 - k}{2}$$

Étape 8

$$b = -2 \times 2 + \frac{5}{2} \times k - \frac{1}{2} \times 11 = -4 + \frac{5k}{2} - \frac{11}{2} = \frac{5k - 19}{2}$$

Étape 9

La fonction $P$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est donnée par $P'(x) = 2ax + b$. Comme $P$ admet un extremum local en $x = 3$, sa dérivée s'annule en 3, ce qui donne $P'(3) = 0$, soit $6a + b = 0$.

Étape 10

En remplaçant $a$ et $b$ par leurs expressions en fonction de $k$, on résout l'équation :

Étape 11

$$6 \left(\frac{5 - k}{2}\right) + \frac{5k - 19}{2} = 0$$

Étape 12

$$3(5 - k) + \frac{5k - 19}{2} = 0$$

Étape 13

$$15 - 3k + \frac{5k - 19}{2} = 0$$

Étape 14

En multipliant tous les termes par $2$, on obtient $30 - 6k + 5k - 19 = 0$, ce qui équivaut à $11 - k = 0$. On en déduit que $k = 11$.