Exercice : Inverse de matrice et systèmes $AX = B$

Étape 1

Une matrice carrée d'ordre 2 de la forme $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ admet une matrice inverse $M$ vérifiant $A M = I_2$ si et seulement si $ad - bc \neq 0$.

Étape 2

Pour la matrice $A = \begin{pmatrix} k & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, la quantité $ad - bc$ vaut : $$k \times 4 - 2 \times 3 = 4k - 6$$ Comme $k \neq \frac{3}{2}$, cette quantité est non nulle.

Étape 3

La matrice $M$ vérifiant $A M = I_2$ est donc donnée par : $$M = \frac{1}{4k - 6} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & k \end{pmatrix}$$

Étape 4

Le coefficient situé sur la première ligne et la première colonne de la matrice $M$ est : $$M_{1,1} = \frac{4}{4k - 6}$$

Étape 5

D'après les données de l'énoncé, ce coefficient est égal à $2$. On cherche donc $k$ tel que : $$\frac{4}{4k - 6} = 2$$

Étape 6

En multipliant chaque membre par $4k - 6$, l'équation devient : $$4 = 2(4k - 6)$$ ce qui équivaut à $4 = 8k - 12$, d'où $8k = 16$, soit $k = 2$.