Étape 1
Calculons dans un premier temps la matrice $A^2$ en effectuant le produit matriciel $A \times A$ :
Étape 2
$$A^2 = \begin{pmatrix} 5 & -6 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & -6 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \times 5 + (-6) \times 2 & 5 \times (-6) + (-6) \times (-2) \\ 2 \times 5 + (-2) \times 2 & 2 \times (-6) + (-2) \times (-2) \end{pmatrix}$$
Étape 3
$$A^2 = \begin{pmatrix} 25 - 12 & -30 + 12 \\ 10 - 4 & -12 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & -18 \\ 6 & -8 \end{pmatrix}$$
Étape 4
Calculons ensuite la matrice $3A$ :
Étape 5
$$3A = 3 \begin{pmatrix} 5 & -6 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 & -18 \\ 6 & -6 \end{pmatrix}$$
Étape 6
Déterminons la différence $A^2 - 3A$ :
Étape 7
$$A^2 - 3A = \begin{pmatrix} 13 & -18 \\ 6 & -8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 15 & -18 \\ 6 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 - 15 & -18 - (-18) \\ 6 - 6 & -8 - (-6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$$
Étape 8
On remplace la matrice diagonale par son expression en fonction de $I_2$ :
Étape 9
$$A^2 - 3A = -2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = -2 I_2$$
Étape 10
En ajoutant $2 I_2$ de chaque côté de l'égalité, on obtient :
Étape 11
$$A^2 - 3A + 2 I_2 = O_2$$
Étape 12
Par identification avec l'égalité $A^2 - 3A + q I_2 = O_2$, la valeur de l'entier $q$ est $2$.
Méthode clé
Pour trouver une relation polynomiale du type $A^2 + pA + qI_2 = O_2$, on calcule explicitement $A^2$ par produit matriciel, puis on effectue la combinaison linéaire $A^2 + pA$ pour identifier le coefficient de $I_2$.
Piège à éviter
Ne pas utiliser de formule hors-programme comme le déterminant. Il faut effectuer le calcul direct du produit matriciel coefficient par coefficient.
