Opérations sur les matrices
L'essentiel du cours (1 notion)
Opérations élémentaires sur les matrices
Définition : L'addition $A+B$ s'effectue terme à terme pour des matrices de mêmes dimensions, tout comme $k A$. Le produit $A B$ exige que le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$.
Propriété : Le produit matriciel n'est pas commutatif ($A B \neq B A$). Un produit nul $A B = O$ n'implique pas que $A = O$ ou $B = O$.
Méthode : Pour calculer le coefficient $(i, j)$ de $A B$, multiplier chaque terme de la ligne $i$ de $A$ par le terme correspondant de la colonne $j$ de $B$, puis sommer.
On considère les deux matrices carrées d'ordre 2 suivantes :
$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & k \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$$où $k$ est un nombre réel.
On sait que le produit matriciel $P = A \times B$ est égal à :
$$P = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 10 \end{pmatrix}$$Saisir la valeur du réel $k$.
Une entreprise fabrique deux types de pièces, $P_1$ et $P_2$, nécessitant trois ressources $R_1$, $R_2$ et $R_3$.
Les besoins unitaires en ressources (en kg) sont modélisés par la matrice $B$ de format $3 \times 2$ :
$$B = \begin{pmatrix} 5 & 2{,}5 \\ 3 & k \\ 4 & 6 \end{pmatrix}$$où les lignes 1, 2 et 3 correspondent respectivement aux ressources $R_1$, $R_2$ et $R_3$, les colonnes 1 et 2 aux pièces $P_1$ et $P_2$, et $k$ est un réel positif.
Une commande du jour est représentée par la matrice colonne de production $X = \begin{pmatrix} 50 \\ 40 \end{pmatrix}$.
La quantité totale de ressource $R_2$ utilisée pour cette commande est égale à $294\text{ kg}$.
Saisir la valeur du paramètre $k$ :
On considère les deux matrices carrées d'ordre $2$ suivantes :
$$A = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad B = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$$
Soit $C$ la matrice définie par le produit $C = A \times B$. On note $c_{2,1}$ le coefficient situé à l'intersection de la deuxième ligne et de la première colonne de $C$.
Saisir la valeur du coefficient $c_{2,1}$.
On considère les deux matrices :
$$A = \begin{pmatrix} 2 & k \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$$La matrice $C$ est définie par $C = A B$. La somme de l'ensemble des coefficients de la matrice $C$ est égale à $35$.
Déterminer la valeur du nombre réel $k$.
Saisir la valeur du réel $k$ sous forme d'un nombre entier ou décimal.