Exercice : Opérations sur les matrices

Étape 1

On modélise la situation à l'aide de la matrice colonne $C$ de format $3 \times 1$ représentant les consommations totales pour chacune des trois ressources. Cette matrice s'obtient par le produit matriciel $C = B \times X$.

Étape 2

Effectuons le produit des matrices $B$ et $X$ :$$C = \begin{pmatrix} 5 & 2{,}5 \\ 3 & k \\ 4 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 50 \\ 40 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \times 50 + 2{,}5 \times 40 \\ 3 \times 50 + k \times 40 \\ 4 \times 50 + 6 \times 40 \end{pmatrix}$$

Étape 3

En calculant les coefficients des lignes 1 et 3, on obtient :$$C = \begin{pmatrix} 350 \\ 150 + 40k \\ 440 \end{pmatrix}$$

Étape 4

La deuxième ligne de la matrice $C$ correspond à la consommation totale de la ressource $R_2$. D'après les données de l'énoncé, cette consommation est égale à $294\text{ kg}$. On pose donc l'équation :$$150 + 40k = 294$$

Étape 5

Résolvons cette équation du premier degré en isolant le terme en $k$ :$$40k = 294 - 150$$ce qui équivaut à $40k = 144$.

Étape 6

On en déduit la valeur exacte du paramètre $k$ :$$k = \frac{144}{40} = 3{,}6$$