Exercice : Inverse de matrice et systèmes $AX = B$

Étape 1

On pose les matrices colonnes :

Étape 2

$$X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad B = \begin{pmatrix} 41 \\ 26 \end{pmatrix}$$

Étape 3

Le système d'équations se traduit sous la forme matricielle :

Étape 4

$$AX = B$$

Étape 5

Puisque la matrice $A$ est inversible, on en déduit que :

Étape 6

$$X = A^{-1}B$$

Étape 7

On effectue le produit matriciel :

Étape 8

$$X = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 41 \\ 26 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \times 41 + (-3) \times 26 \\ (-3) \times 41 + 5 \times 26 \end{pmatrix}$$

Étape 9

On calcule chaque coefficient :

Étape 10

$$X = \begin{pmatrix} 82 - 78 \\ -123 + 130 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}$$

Étape 11

On identifie les composantes de la colonne $X$ : on obtient $x = 4$ et $y = 7$.