Exercice : Inverse de matrice et systèmes $AX = B$

Étape 1

Par définition d'une matrice inverse, on a la relation : $$A \times A^{-1} = I_2$$

Étape 2

Calculons le produit des deux matrices $A$ et $A^{-1}$ : $$A \times A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \times 2 + 1 \times (-3) & 2 \times (-1) + 1 \times k \\ 3 \times 2 + 2 \times (-3) & 3 \times (-1) + 2 \times k \end{pmatrix}$$

Étape 3

En simplifiant les coefficients, on obtient : $$A \times A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 + k \\ 0 & -3 + 2k \end{pmatrix}$$

Étape 4

D'après l'égalité $A \times A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, on peut égaler les coefficients correspondants. En observant le coefficient situé sur la première ligne et la seconde colonne, on obtient l'équation : $$-2 + k = 0$$

Étape 5

Ce qui équivaut à : $$k = 2$$

Étape 6

On vérifie avec la seconde ligne et la seconde colonne : $-3 + 2 \times 2 = -3 + 4 = 1$, ce qui confirme la valeur trouvée.