Étape 1
On commence par exprimer le numérateur et le dénominateur sous forme algébrique en fonction de $k$. Comme $z = 2 - 3\mathrm{i}$, son conjugué est $\overline{z} = 2 + 3\mathrm{i}$.
Étape 2
Le numérateur s'écrit : $$k z + 4\mathrm{i} = k(2 - 3\mathrm{i}) + 4\mathrm{i} = 2k + (4 - 3k)\mathrm{i}$$ Le dénominateur s'écrit : $$\overline{z} - \mathrm{i} = 2 + 3\mathrm{i} - \mathrm{i} = 2 + 2\mathrm{i}$$
Étape 3
Pour mettre $Z$ sous forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, c'est-à-dire $2 - 2\mathrm{i}$ : $$Z = \frac{(2k + (4 - 3k)\mathrm{i})(2 - 2\mathrm{i})}{(2 + 2\mathrm{i})(2 - 2\mathrm{i})}$$
Étape 4
Au dénominateur, on a : $$2^2 - (2\mathrm{i})^2 = 4 - (-4) = 8$$
Étape 5
Au numérateur, on développe : $$(2k)(2) - 4k\mathrm{i} + 2(4 - 3k)\mathrm{i} - 2\mathrm{i}^2(4 - 3k) = 4k - 4k\mathrm{i} + (8 - 6k)\mathrm{i} + 2(4 - 3k)$$ En regroupant parties réelle et imaginaire : $$(4k + 8 - 6k) + \mathrm{i}(-4k + 8 - 6k) = (8 - 2k) + (8 - 10k)\mathrm{i}$$
Étape 6
On en déduit la forme algébrique de $Z$ : $$Z = \frac{8 - 2k}{8} + \mathrm{i}\,\frac{8 - 10k}{8} = \frac{4 - k}{4} + \mathrm{i}\,\frac{4 - 5k}{4}$$
Étape 7
Le nombre complexe $Z$ est un nombre réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à : $$\frac{4 - 5k}{4} = 0$$ d'où $4 - 5k = 0$, soit $k = \frac{4}{5}$.
Méthode clé
Un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle. Pour l'extraire d'un quotient, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Piège à éviter
Oublier de changer le signe de la partie imaginaire lors du calcul du conjugué $\overline{z}$, ou commettre une erreur de signe avec $\mathrm{i}^2 = -1$ lors du développement.
