Étape 1
Soit $z$ un nombre complexe. On écrit sa forme algébrique $z = x + \mathrm{i}y$, où $x$ et $y$ sont des nombres réels. Le conjugué de $z$ est alors $\bar{z} = x - \mathrm{i}y$.
Étape 2
En substituant ces expressions dans l'équation $3z - 2\bar{z} = 4 + 15\mathrm{i}$, on obtient : $$3(x + \mathrm{i}y) - 2(x - \mathrm{i}y) = 4 + 15\mathrm{i}$$
Étape 3
En développant et en regroupant les termes réels et imaginaires, le membre de gauche devient : $$3x + 3\mathrm{i}y - 2x + 2\mathrm{i}y = x + 5\mathrm{i}y$$
Étape 4
L'équation s'écrit donc : $$x + 5\mathrm{i}y = 4 + 15\mathrm{i}$$
Étape 5
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales. Comme $x$ et $y$ sont des réels, on identifie les parties réelles et imaginaires : $$\begin{cases} x = 4 \\ 5y = 15 \end{cases}$$
Étape 6
On en déduit que $x = 4$ et $y = 3$. La partie réelle de $z$ est donc $x = 4$.
Méthode clé
Poser $z = x + \mathrm{i}y$ avec $x, y \in \mathbb{R}$, puis égaliser les parties réelles et imaginaires pour obtenir un système d'équations réelles.
Piège à éviter
Confondre le conjugué $\bar{z} = x - \mathrm{i}y$ avec $-z = -x - \mathrm{i}y$ lors du développement.
