Étape 1
Pour déterminer la valeur du réel $k > 0$ telle que $Z$ soit un nombre réel, exprimons d'abord $Z$ sous forme algébrique.
Étape 2
En appliquant la formule du binôme de Newton pour $n = 4$, on a :
Étape 3
$$Z = \binom{4}{0} k^4 + \binom{4}{1} k^3 (2i) + \binom{4}{2} k^2 (2i)^2 + \binom{4}{3} k (2i)^3 + \binom{4}{4} (2i)^4$$
Étape 4
Les coefficients binomiaux pour $n = 4$ sont $1, 4, 6, 4, 1$. Calculons chaque terme en utilisant les puissances de $i$ :
Étape 5
$$\binom{4}{0} k^4 = k^4$$
Étape 6
$$\binom{4}{1} k^3 (2i) = 8k^3 i$$
Étape 7
$$\binom{4}{2} k^2 (2i)^2 = 6 k^2 (-4) = -24k^2$$
Étape 8
$$\binom{4}{3} k (2i)^3 = 4 k (-8i) = -32k i$$
Étape 9
$$\binom{4}{4} (2i)^4 = 16$$
Étape 10
En regroupant les parties réelle et imaginaire, on obtient la forme algébrique de $Z$ :
Étape 11
$$Z = (k^4 - 24k^2 + 16) + i(8k^3 - 32k)$$
Étape 12
Un nombre complexe est un nombre réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle. Cela se traduit par l'équation :
Étape 13
$$8k^3 - 32k = 0$$
Étape 14
En factorisant par $8k$, on obtient :
Étape 15
$$8k(k^2 - 4) = 0$$
Étape 16
Comme $k$ est un réel strictement positif ($k > 0$), $8k \neq 0$. L'équation équivaut donc à $k^2 - 4 = 0$, soit $k^2 = 4$.
Étape 17
Puisque $k > 0$, la seule solution convient : $k = 2$.
Méthode clé
Pour développer $(a+b)^n$, on utilise les coefficients binomiaux $\binom{n}{k}$ et les propriétés des puissances de $i$ ($i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$). Un complexe $z = x + i y$ est réel si et seulement si $y = 0$.
Piège à éviter
Oublier d'élever la constante $2$ à la puissance correspondant à chaque terme du développement (par exemple écrire $2i^3$ au lieu de $(2i)^3 = -8i$).
