Étape 1
On commence par exprimer l'inconnue $z$ en fonction du réel $k$ en isolant $z$ dans l'équation : $$z = \frac{k - 5i}{1 + 2i}$$
Étape 2
Pour écrire $z$ sous forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le nombre complexe conjugué du dénominateur, c'est-à-dire $1 - 2i$ : $$z = \frac{(k - 5i)(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)}$$
Étape 3
En développant le numérateur et le dénominateur, on obtient : $$z = \frac{k - 2ki - 5i + 10i^2}{1^2 + 2^2} = \frac{(k - 10) - (2k + 5)i}{5}$$
Étape 4
On en déduit la forme algébrique de $z$ : $$z = \frac{k - 10}{5} - \frac{2k + 5}{5}i$$ La partie réelle de $z$ est donc : $$\text{Re}(z) = \frac{k - 10}{5}$$
Étape 5
D'après l'énoncé, la partie réelle de $z$ est égale à $3$. On résout alors l'équation réelle : $$\frac{k - 10}{5} = 3$$ Ce qui équivaut à $k - 10 = 15$, d'où $k = 25$.
Méthode clé
Pour déterminer un paramètre réel dans une équation complexe de la forme $a z = b$, on isole $z$, on écrit sa forme algébrique à l'aide du conjugué du dénominateur, puis on identifie séparément sa partie réelle ou imaginaire.
Piège à éviter
Ne pas confondre la partie réelle de $z$ avec le réel $k$ présent dans le membre de droite de l'équation, et bien penser à multiplier par le conjugué $1-2i$ au numérateur et au dénominateur.
