Étape 1
On développe d'abord $(2 + \text{i})^3$ à l'aide de la formule du binôme de Newton :
Étape 2
$$(2 + \text{i})^3 = 2^3 + 3 \times 2^2 \times \text{i} + 3 \times 2 \times \text{i}^2 + \text{i}^3$$
Étape 3
Comme $\text{i}^2 = -1$ et $\text{i}^3 = -\text{i}$, on obtient :
Étape 4
$$(2 + \text{i})^3 = 8 + 12\text{i} - 6 - \text{i} = 2 + 11\text{i}$$
Étape 5
On développe de même $(1 + 2\text{i})^3$ :
Étape 6
$$(1 + 2\text{i})^3 = 1^3 + 3 \times 1^2 \times (2\text{i}) + 3 \times 1 \times (2\text{i})^2 + (2\text{i})^3$$
Étape 7
Comme $(2\text{i})^2 = -4$ et $(2\text{i})^3 = -8\text{i}$, on a :
Étape 8
$$(1 + 2\text{i})^3 = 1 + 6\text{i} - 12 - 8\text{i} = -11 - 2\text{i}$$
Étape 9
On en déduit l'expression de $Z(k)$ sous forme algébrique :
Étape 10
$$Z(k) = (2 + 11\text{i}) + k(-11 - 2\text{i}) = (2 - 11k) + (11 - 2k)\text{i}$$
Étape 11
Le nombre complexe $Z(k)$ est un nombre réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle :
Étape 12
$$11 - 2k = 0$$
Étape 13
ce qui équivaut à :
Étape 14
$$k = \frac{11}{2} = 5{,}5$$
Méthode clé
Pour développer $(a + b)^3$, on applique les coefficients $1, 3, 3, 1$ puis on remplace rigoureusement $\text{i}^2$ par $-1$ et $\text{i}^3$ par $-\text{i}$.
Piège à éviter
Confondre $(2\text{i})^2 = -4$ et $(2\text{i})^3 = -8\text{i}$ en oubliant d'élever le coefficient $2$ à la puissance.
