Étape 1
Comme $3 - 2i \neq 0$, l'équation admet une unique solution dans $\mathbb{C}$ donnée par : $$z = \frac{k + 8i}{3 - 2i}$$
Étape 2
Pour déterminer la forme algébrique de $z$, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, soit $3 + 2i$ : $$z = \frac{(k + 8i)(3 + 2i)}{(3 - 2i)(3 + 2i)}$$
Étape 3
Au dénominateur, on calcule : $$3^2 + (-2)^2 = 9 + 4 = 13$$
Étape 4
Au numérateur, on développe le produit : $$(k + 8i)(3 + 2i) = 3k + 2ki + 24i + 16i^2 = (3k - 16) + i(2k + 24)$$ puisque $i^2 = -1$.
Étape 5
On en déduit l'écriture de $z$ sous forme algébrique : $$z = \frac{3k - 16}{13} + i\,\frac{2k + 24}{13}$$
Étape 6
La partie imaginaire de $z$ est donc : $$\text{Im}(z) = \frac{2k + 24}{13}$$
Étape 7
La condition de l'énoncé impose que cette partie imaginaire soit égale à $4$, ce qui équivaut à : $$\frac{2k + 24}{13} = 4$$
Étape 8
En multipliant par $13$, on obtient $2k + 24 = 52$, d'où $2k = 28$, et finalement $k = 14$.
Méthode clé
Pour isoler $z$ dans $az = b$, on multiplie le numérateur et le dénominateur de $\frac{b}{a}$ par le conjugué $\overline{a}$ afin d'obtenir la forme algébrique $X + iY$.
Piège à éviter
Ne pas confondre la partie imaginaire d'un nombre complexe, qui est un nombre réel ($Y$), avec le terme complet comprenant l'unité imaginaire ($iY$).
