Exercice : Factorisation et équations de degré supérieur

Étape 1

Pour tout nombre complexe $z$, développons la forme factorisée conjecturée :

Étape 2

$$(z - 2)(z^2 + bz + c) = z^3 + bz^2 + cz - 2z^2 - 2bz - 2c$$

Étape 3

En regroupant les termes selon les puissances décroissantes de $z$, on obtient :

Étape 4

$$(z - 2)(z^2 + bz + c) = z^3 + (b - 2)z^2 + (c - 2b)z - 2c$$

Étape 5

Par identification avec l'expression de $P(z) = z^3 - 3z^2 + 4z - 4$, les coefficients doivent être égaux terme à terme :

Étape 6

$$\begin{cases} b - 2 = -3 \\ c - 2b = 4 \\ -2c = -4 \end{cases}$$

Étape 7

La première équation donne $b = -3 + 2 = -1$.

Étape 8

La troisième équation donne $c = \frac{-4}{-2} = 2$.

Étape 9

On vérifie avec la deuxième équation : $c - 2b = 2 - 2(-1) = 2 + 2 = 4$, ce qui est bien vérifié.

Étape 10

Le quotient est donc le trinôme $Q(z) = z^2 - z + 2$.

Étape 11

On calcule le discriminant $\Delta$ de ce trinôme du second degré :

Étape 12

$$\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times 2 = 1 - 8 = -7$$