Exercice : Factorisation et équations de degré supérieur

Étape 1

On cherche à résoudre l'équation $z^3 - 27z + k = 0$ en posant $z = u + v$, où $u$ et $v$ sont des nombres complexes.

Étape 2

En développant $(u+v)^3$, l'équation devient : $$(u+v)^3 - 27(u+v) + k = 0$$ ce qui s'écrit de manière équivalente : $$u^3 + v^3 + (3uv - 27)(u+v) + k = 0$$

Étape 3

Pour éliminer le terme dépendant de $(u+v)$, on impose la condition $3uv - 27 = 0$, c'est-à-dire $uv = 9$. On en déduit le produit des cubes : $$u^3 v^3 = 9^3 = 729$$

Étape 4

Sous cette condition, l'équation initiale se réduit à $u^3 + v^3 + k = 0$, soit $u^3 + v^3 = -k$. Connaissant la somme et le produit de $u^3$ et $v^3$, ces deux nombres sont les solutions de l'équation du second degré : $$X^2 + kX + 729 = 0$$

Étape 5

Cette équation auxiliaire possède une unique solution réelle (racine double) si et seulement si son discriminant est nul : $$\Delta = k^2 - 4 \times 1 \times 729 = k^2 - 2916$$

Étape 6

L'équation $\Delta = 0$ équivaut à $k^2 = 2916$. Comme le paramètre $k$ est un réel strictement positif, on conclut que $k = \sqrt{2916} = 54$.