Étape 1
Comme $2$ est une racine du polynôme, il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout nombre complexe $z$ :
Étape 2
$$(z - 2)(az^2 + bz + c) = z^3 - 6z^2 + 21z - 26$$
Étape 3
Développons le membre de gauche :
Étape 4
$$(z - 2)(az^2 + bz + c) = az^3 + (b - 2a)z^2 + (c - 2b)z - 2c$$
Étape 5
Par identification des coefficients avec le polynôme $z^3 - 6z^2 + 21z - 26$, on obtient le système :
Étape 6
$$\begin{cases} a = 1 \\ b - 2a = -6 \\ c - 2b = 21 \\ -2c = -26 \end{cases}$$
Étape 7
La première et la dernière équation donnent directement $a = 1$ et $c = 13$. La deuxième équation donne $b = -6 + 2(1) = -4$. On vérifie avec la troisième équation : $13 - 2(-4) = 21$, ce qui est cohérent.
Étape 8
L'équation initiale s'écrit donc :
Étape 9
$$(z - 2)(z^2 - 4z + 13) = 0$$
Étape 10
Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l'un des facteurs est nul. On résout donc l'équation du second degré :
Étape 11
$$z^2 - 4z + 13 = 0$$
Étape 12
Le discriminant est :
Étape 13
$$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 13 = 16 - 52 = -36$$
Étape 14
Comme $\Delta < 0$, l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :
Étape 15
$$z_1 = \frac{-(-4) + i\sqrt{36}}{2 \times 1} = \frac{4 + 6i}{2} = 2 + 3i$$
Étape 16
$$z_2 = \overline{z_1} = 2 - 3i$$
Étape 17
La solution dont la partie imaginaire est strictement positive est $z_1 = 2 + 3i$. Sa partie imaginaire est égale à $3$.
Méthode clé
Développer une forme factorisée générique et identifier les coefficients terme à terme pour se ramener à une équation du second degré.
Piège à éviter
Oublier de diviser par $2a$ les deux termes du numérateur lors du calcul des racines complexes conjuguées.
