Exercice : Factorisation et équations de degré supérieur

Étape 1

Comme $z_0 = 1$ est une racine de $P$, on a $P(1) = 0$, ce qui traduit l'égalité :$$1^3 - 3 \times 1^2 + 7 \times 1 + k = 0$$$$1 - 3 + 7 + k = 0$$$$5 + k = 0$$On en déduit que $k = -5$. Le polynôme s'écrit donc $P(z) = z^3 - 3z^2 + 7z - 5$.

Étape 2

Pour tout complexe $z$, développons l'expression $(z - 1)(z^2 + bz + c)$ :$$(z - 1)(z^2 + bz + c) = z^3 + bz^2 + cz - z^2 - bz - c$$$$(z - 1)(z^2 + bz + c) = z^3 + (b - 1)z^2 + (c - b)z - c$$Par identification avec les coefficients de $P(z) = z^3 - 3z^2 + 7z - 5$, on obtient le système :$$\begin{cases} b - 1 = -3 \\ c - b = 7 \\ -c = -5 \end{cases}$$La troisième équation donne directement $c = 5$. La première équation donne $b = -2$. On vérifie dans la deuxième équation que $5 - (-2) = 7$, ce qui est bien cohérent. Ainsi, pour tout $z \in \mathbb{C}$, on a $P(z) = (z - 1)(z^2 - 2z + 5)$.

Étape 3

L'équation $P(z) = 0$ équivaut à $z - 1 = 0$ ou $z^2 - 2z + 5 = 0$. Résolvons l'équation du second degré $z^2 - 2z + 5 = 0$ dans $\mathbb{C}$. Le discriminant est :$$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times 5 = 4 - 20 = -16$$Comme $\Delta < 0$, l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :$$z_1 = \frac{-(-2) + i\sqrt{16}}{2 \times 1} = \frac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i$$$$z_2 = \overline{z_1} = 1 - 2i$$La solution dont la partie imaginaire est strictement positive est $z_1 = 1 + 2i$. Sa partie imaginaire est $\operatorname{Im}(z_1) = 2$.