Exercice : Factorisation et équations de degré supérieur

Étape 1

On reconnaît dans le produit $(1+i-a)Z$ la structure de l'identité algébrique valable pour tous complexes $z$ et $a$ et pour tout entier $n \ge 1$ :

Étape 2

$$ (z-a) \sum_{k=0}^{n-1} z^k a^{n-1-k} = z^n - a^n $$

Étape 3

En posant $z = 1+i$ et $n = 8$, le produit se simplifie sous la forme :

Étape 4

$$ (1+i-a) Z = (1+i)^8 - a^8 $$

Étape 5

Calculons séparément la puissance $(1+i)^8$ :

Étape 6

$$ (1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i $$

Étape 7

$$ (1+i)^8 = ((1+i)^2)^4 = (2i)^4 = 16 i^4 = 16 $$

Étape 8

Ainsi, le produit s'écrit $(1+i-a) Z = 16 - a^8$. D'après les données de l'énoncé, ce produit vaut $-240$, d'où l'équation :

Étape 9

$$ 16 - a^8 = -240 $$

Étape 10

ce qui équivaut à :

Étape 11

$$ a^8 = 256 $$

Étape 12

Puisque $a$ est un entier naturel, l'unique solution positive est $a = 2$ (car $2^8 = 256$).